數學“問題”教學設計探析

【摘 要】問題是數學的心臟。問題的解決是人類思維的一種普遍的表現形式之一。在數學課堂教學中，從定義、概念的理解到公式、定理、法則的推導，從學生邏輯思維能力的訓練與提高到學生實際應用能力和創新能力的培養，都離不開“問題”及“問題”教學，它們無不在提出問題、研究問題、解決問題的過程中得到實現。因此，課堂教學實際上就是依據教學內容和學生學業基礎水平，師生重組舊知識，不斷發現問題、研究問題、解決問題的活動。從某種意義上說，數學課堂教學就是“問題”解決的教學。

【關鍵詞】數學；問題；教學設計

在課堂教學中，數學“問題”一方面依據于教材，另一方面來源于學生，在很多時候，數學“問題”教學需要教師的精加工——“問題”教學設計。那么，如何把握數學課堂教學中的“問題”設計呢？筆者根據多年的教學實踐與思考，從以下幾方面進行探折，供大家參考，亦請批評指正。

一、“問題”設計的整體性

“問題”設計的整體性，就是數學“問題”設計需要圍繞同類問題模型、相近題目類型、相似解題方法或就某一“知識團”而設計一些問題組或問題鏈，“問題”的布局設計強調重視整體的教學效果。

例1 現在有6本不同的書按下列方式分配，問各有多少種不同的分配方案？

（1）分成三堆、一堆1本、一堆2本、一堆3本；

（2）分給甲、乙、丙三個人，其中一人1本，一人2本，一人3本；

（3）平均分成三堆，每堆2本；

（4）分給甲、乙、丙三個人，每人2本；

（5）分給甲1本，分給乙2本，分給丙3本。

啟示：本例的5個小題分別是排列組合中不均分組問題、不均分組不定向分配問題、均分組問題、均分配問題、定向分配問題，將它們在同一例題中整體設計，通過引導學生對比分析探究討論，學生就很容易掌握，教學效果甚好，可謂事半功倍。

二、“問題”設計的針對性

“問題”設計的針對性，是指教學中為了達到某一教學目的而設計的一些具有明確旨意、直指目的要害的針對性“問題”，這樣的針對性“問題”猶如一把鋒利的寶劍，有寶劍出而亂麻解之奏效，亦猶如藥到病除立竿見影之功效。

例2 已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線A1D與AC的距離。

解法1：直接作出兩異面直線A1D與AC的公垂線段EF，利用幾何法求出線段EF的長即為所求。

解法2：將異面直線的距離轉化為兩平行平面的距離。

解法3：將異面直線的距離轉化為直線與平行平面的距離。

解法4：將異面直線的距離轉化為點到平面的距離。

解法5：建立空間直角生標系D—xyz，利用坐標法求解。

啟示：本例是針對空間中的距離的求法而設計的，上面5種解法基本上概括了立體幾何中關于各種距離問題的通性通法，既能培養學生在解題中多角度轉化分析問題的能力，又可以培養學生發散思維的廣度和深度，起到舉一反三，觸類旁通的教學效果，“問題”的針對性不言而喻。

三、“問題”設計的啟發性

“問題”設計的啟發性是指數學問題要具有啟發學生思維的功能，達到以問促思，以問促問，不斷促進學生再思再問，激發學生思考探究，有助于強化提高學生的歸納、類比、演繹、聯想、轉化等數學思維能力。

例3 （1）現在有10饅頭欲分給3個和尚吃，每人至少吃一個，有多少種分配方案？

（2）現在有10個饅頭欲分給3個和尚吃，每人至少吃2個，有多少種分配方案？

（3）不定方程x+y+z=10有幾組正整數解？

（4）不定方程x+y+z=10有幾組大于1的正整數解？

啟示：本例第（1）問是排列組合問題中的分配問題，采用“隔板法”；第（2）問可以每個和尚先分一個饅頭，于是轉化為“剩下7個饅頭，每人至少分1個饅頭的問題（同第（1）問）；第（3）、（4）問可以分別具體轉化為第（1）、（2）問求解，本例題以題組形式設計，具有相互轉化功能，富有啟發性。

四、“問題”設計的層次性

手段——目的分析策略是問題解決的策略之一，它的基本方法是把需要解決的總問題分解成一系列子問題，通過解決子問題逐步消初始條件與目標結果之間的差異，從而找到問題解決的途徑。因此，在課堂教學中往往需要圍繞某個總“問題”的解決而設計一些子問題進行鋪墊，從而減小和降低思維的跨度和難度，這就是“問題”設計的層次性。

問題5 反思這個問題的證明過程，你有什么心得體會？

啟示：本例通過鋪設解決問題的階梯——“子問題”，層層啟發深入，在學生的最近發展區調動學生積極思維，讓學生在思索探究中獲取成功，從而在不斷增強學生學習數學的成功感中培養學生學習數學的興趣。

五、“問題”設計的深刻性

學生在學習中往往熱衷于大題、難題之作，疏忽對小題的思考與研究，這是學生學習中的不良習慣之一。在課堂教學中，教師要善于從小問題研究入手，對小問題進行拓展設計，在師生互動交流中，探究小問題中的大智慧，揭示其中蘊含的數學規律，這就是“問題”設計的深刻性。

誠然，“問題”教學設計是數學課堂教學的重要研究課題之一。“問題”教學設計的優化探究可以提高數學課堂的效益，對學生在學習中如何發現問題、提出問題、研究問題、解決問題的能力起著潛移默化的影響和極其重要的作用，在“問題”教學中，學生的思維方法、思維能力、創新意識將不斷得到錘煉與增強，最終讓學生從“學會”逐步走向“會學”，這是我們努力追求的數學教學的最高境界。

（作者單位：福建省龍巖市武平縣職業中專學校）