證明一條直線是圓的切線經驗淺談

切線的證明是幾何證明題的一個重要內容，更是來年中考中常見的考點之一，通過學習切線的判定這節內容，總結了一些經驗，寫出來與同學們共勉，說的不足和不對的地方，望大家給予批評指正。

一、內容分析

從切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線可知，要證明一條直線的一個圓的切線必須達到兩點，（1）經過半徑的外端，即直線與圓有公共交點；（2）與這條半徑垂直（或相交成直角）；因此，證明時必須抓住這兩點，缺一不可。

二、認真審題，確定證明思路和方法

證明題證明時必須認真分析題中的已知條件，（1）若題中已知（或隱含）直線和圓有交點則滿足上面內容分析的第一點，只要連結交點與圓心這條半徑，再利用另外的條件證明垂直（或交角成直角）即可；（2）若題中沒有（也不隱含）該直線與圓有交點，則由圓心作這條直線的垂線，再利用其它條件證明該垂線段是這個圓的半徑（或者等于這個圓的另一條半徑）即可。

三、例題舉例

例題1 AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在圓上，∠CAB=30°。求證：DC是⊙O的切線。

分析：要證明DC是⊙O切線，C點在⊙O上，即CD與⊙O有交點，只要連結OC，證明OC與DC垂直即可。

證明：連結OC

∵∠CAB=30°，OA=OC

∴∠ACO=30°則∠BOC=60°

又∵OB=OC所以∠OBC=∠BCO=60°

即∠BDC=∠BCD=30°

∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°

即OC⊥DC

所以DC是⊙O的切線。

例題2 如圖在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點E，求證：CD與小圓相切。

分析：要證明CD是⊙O的切線，但從已知條件中不隱含CD和圓有交點，因此須先由圓心O作CD的切線，再證明該垂線段等于小圓的半徑。

證明：連結OE，過O作OF垂直CD，垂足為F。

∵AB與小圓O相切于E

∴OE⊥AB

又∵OF⊥CD，AB=CD

∴OF=OE

即OF是小圓O的半徑

∴CD與小圓相切