對一道常見習題的變式探究

數學能力的提高離不開數學解題，但題海戰術只會增加學生的負擔而難以培養思維能力，所以，教師在解題教學中要追求“質”而非“量”。而習題的變式教學無疑是一劑良方，它從一個典型且思維含量較少的題目出發，逐步進行變式。每一次的變化都要轉化為學生知識和技能的最近發展區，激發學生積極探索的熱情的同時，幫助學生梳理知識之間的內在聯系，提高學生對知識的綜合運用能力。

下面是筆者在中考第一輪復習中，復習有關等腰三角形知識的一節課中對一道題目的變式探究過程，與大家共享。

問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，當點E在線段AC上，點D在線段AB的延長線上時，連結DE，若CE=BD，求證：MD=ME。經過一段時間的思考，很快有學生提出了自己看法。

學生1：若MD=ME，則M是線段DE的中點，我聯想到可以構造全等三角形，可過點E作EF∥AB交BC于點F，然后證△DBM≌△EFM即可。

通過學生自主書寫證明過程，交流展示，教師糾正，和學生一起總結如下證明過程：

證明：過點E作EF∥AB交BC于點F，（學生1的方法）

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC。

又∵CE=BD，∴EF=BD。

∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM。

教師：如果交換條件“CE=BD”與結論“MD=ME”，還成立嗎？

學生2：是成立的，我們可以按照上面問題的證明思路，還是過點E作EF∥AB交BC于點F，然后證△DBM≌△EFM。

學生3：老師，受你的啟發，我在想如果交換條件“AB=AC”與結論“MD=ME”，是否仍成立。

聽到這些，其他學生都來了興趣。經過了短暫的思考。

教師：大家同意剛才那位同學的方法嗎？

眾生（異口同聲）：同意，思路相同，方法照舊。

看學生熱情高漲，我又向學生拋出了下面的問題。

教師：如圖2，如果我進一步把條件中“CE=BD”改為“CE= mBD”，那么MD與ME的數量關系是怎樣的？

話剛一出口，就有學生回應。

學生4：ME=mMD。

教師：你證出來了？

學生4（不好意思的撓撓頭）：沒有，我是根據經驗猜的。

教師：你的猜想很正確。對于幾何證明題，合情推理是非常重要的，當然，我們還需要通過嚴格的推理把猜想變為現實，請大家試著完成證明過程。

大部分學生都能想到過點E作EF∥AB交BC于點F，證△DBM∽△EFM。我讓學生4展示了他的證明過程：如圖2，過點E作EF∥AB交BC于點F，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，∴EF=EC。

∵EF∥AB，∴∠D=∠MEF。

又∵∠BMD=∠FME，∴△DBM∽△EFM，

∴■=■。

又∵CE=mBD，∴ME=mMD。

有了上面的探究基礎，我向學生拋出了下面一組問題讓他們思考：

（1）如圖3，若把原題目條件中“當點E在線段AC上”改為“當點E在線段CA延長線上”，其他條件不變，則MD與ME有怎樣的數量關系，并說明理由。

（2）如圖4，若把原題目條件中“當點E在線段AC上”改為“當點E在線段CA延長線上”，同時把“CE=BD”改為CE=mBD， MD與ME有怎樣的數量關系，并說明理由。

經過獨立思考和小組討論，學生很快得到了兩個問題的答案：

解：（1）DM=EM。證明：

如圖3，過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，∴EF=EC。

又∵BD=EC，∴EF=BD。

又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF。

∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；

（2）EM=DM。如圖4，證△DBM∽△EFM，證明方法同（1），這里不再贅述。

教師：當我們改變點的位置，線段的數量關系以及交換問題的條件和結論時，都可以產生一個新的問題，另外也可以在不改變原來條件的基礎上，增加新的條件，下面我們接著來看原題目經過“改裝”后的一個新問題。

如圖5，在△ABC中，AB=AC，點E在線段AC上，點D在線段AB的延長線上，若BD=CE，作EG⊥BC于G，求證：MG=■BC。

經過一段時間的思考，我讓一位學生談他的想法。

學生5：我是按著原來題目的解題思路，過點E作EF∥AB交BC于點F，可以證明△DBM≌△EFM，然后可以得到BM=FM，然后我還沒想好……

學生6（迫不及待）：因為△EFC是等腰三角形，因為EG⊥BC，可利用“三線合一”得到FG=CG，然后可以得到MG=BC。

學生6恍然大悟，這時一名學生舉手想表達他的觀點。

學生7：我還有另外一種辦法，過點D作DF⊥CB交CB的延長線于F（如圖6），可以證明△DBF≌△ECG，所以DF=EG，BF=CG，所以有FG=BC，然后在證明△DFM≌△EGM，所以MG=FG=BC。

學生紛紛點頭。

學生8：教師，如果把條件改為點E在CA的延長線上（如圖7）時，結論也應該是成立的。

教師：你提的問題非常好，下面請同學們小組研究一下，并寫出證明過程。

其中一個小組的展示結果如下：

證明：如圖7，過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，∴EF=EC。

又∵BD=EC，∴EF=BD。

又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF。

∴△DBM≌△EFM；∴FM=BF。

∵EG⊥BC，∴FG=FC。

∴FG–FM=FC–BF=BC。

教師：我們還可以通過交換條件和結論等辦法，變化出更多的題目，這些留在課下供同學們繼續研究。

通過上面問題的變式探究告訴我們，在平時的教學中要充分發揮例題、習題的教學功能，給學生提供自主探究的機會，讓他們經歷“再發現和再創造”的過程，培養學生的創新意識，使學生獲得終身學習的能力。

【責編 張景賢】