數列高考中綜合問題分類解析

摘 要：數列是高考重要內容之一，數列綜合問題常以壓軸題出現，亦成為歷年高考久考不衰的熱點題型。其涉及的基礎知識、數學思想與方法、在高等數學的學習中起著重要作用，對高考中常出現的數列綜合問題的題型，有必要進行概括分析，供讀者參考。

關鍵詞：數列 高考 題型

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）05（c）-0107-01

1 以函數為載體的數列問題

以函數為載體的數列問題在高考試題出現的頻率相當高，由于此類問題的解題目標與已知條件之間的跨度大，使得題型新穎、內容綜合、解法靈活、思維抽象，所以它既是高考的熱點題型，又是頗難解決的重點問題。

例1：（2008年福建高考題）已知函數。設是正數組成的數列，前n項和為，其中。若點（）在函數的圖象上，求證：點也在的圖象上。

證明：因為，所以，

由點在函數的圖象上，

得，即，

又，所以，又因為，

所以數列是以3為首項，公差為2的等差數列。

所以，又因為，所以，故點也在函數的圖象上。

點評：本小題主要考查等差數列等基本知識，考查分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，是一道典型的以函數為背景，由函數引出數列，再以函數圖象為工具，綜合研究解決數列問題。

2 開放型問題

判斷探索型數列問題，是開放型命題的常見題型，它是以不給出明確結論，需要解題者尋覓或探索結論，并加以證明的問題。

例2：（2005年北京高考題）設數列{an}的首項a1=a≠，且α=，記bn=α-，n=1，2，3，…

（1）求a2，a3。

（2）判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論。

解：（1）α2=α1+=α+，α3=α2=α+。

（2）因為α4=α3+=α+，所以α5=α4=α+，

所以b1=α1-=α-≠0，b2=α3-=（α-），b3=α5-=（α-）。

猜想：{bn}是公比為的等比數列。……