植根基礎 開拓思路

摘 要：在近幾年中考命題中，屢次出現一類求最小值題型，得分率很低。原于學生對相關的幾何知識：“兩點之間的所有連線中，線段最短。”的理解、綜合應用能力欠缺，使得學生在解決這類問題時頗感困惑，引導學生從復雜的背景中創造性的使用這一原理解決問題，就需要培養學生認真分析、積極思維、敢于創新、勇于探索，構建模型，完成對新問題的轉化，從而提煉出解決這類問題的方法。

關鍵詞：題型探究 本源的問題 最小值 思維能力 建模 創造性思維 動態變化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）05（c）-0093-02

在數學中考試題中，常見到一類求最大值或最小值的問題，這類題在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中都有涉及，學生得分率較低。通常是學生初看題目就感到無處下手，胡亂寫個答案，或者干脆放棄。其實，這類題無論背景多么繁雜，其所用知識點都是最基本的。就拿求最小值來說，在與圖形有關的題目中，所用知識點無非是“兩點之間的所有連線中，線段最短。”或“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。”一般來說，學生頭腦中只要有這兩個關于最短的公理，遇到具體題目，能在化歸思想的指導下進行有效轉化，此類題便不難求解。本文擬從歷年來各省市的幾個中考試題說起，淺談這類試題的求解思路。

1 兩個定點和一條定直線，一個動點問題

例1：（北師大版七年級下冊第七章《簡單的軸對稱圖形》課后問題解決）要在街道旁修建一個奶站，向居民區A，B提供牛奶，奶站建在何處才能使從A，B到它的距離之和最短？

問題1：若居民區A，B分布于街道兩側時，奶站應建在何處？

問題2：若居民區A，B分布于街道同側時，奶站應建在何處？

分析：問題1，如圖1，直接用線段公理。

問題2，則要轉化為問題1的情形，即把A、B轉化為在直線L的異側。此時，只需作點A或點B關于直線L的對稱點即可。

如圖2，若居民區A，B分布于街道同側時，則作點A關于直線l的對稱點A`，連接A`B交直線L于點P，則奶站應建在P處。

理由：在直線L上取異于點P的任意一點P`，連接AP`，A`P`，由對稱性易得：AP`=A`P`在ΔA`P`B中，P`A+P`B=A`P`+P`B>A`B（A`B=PA+PB）。因此PA+PB最短。

這個在定直線上找一點使它到該直線同側兩定點距離之和最短的問題可作為求解最短類問題的題根，以下各題可看作是對其進行的一系列衍生。學生在這一系列變化中尋找規律，發現“變”中的“不變”，從而找到該系列問題的根本解決辦法，達到“解一題，通一類”的目的，下面我們共同探究在不同背景下此類問題的解法。

例2（2010濱州）：如圖3，在等邊ΔABC中，AB=2，E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的最小值，并求其最小值。

分析：此題背景較復雜，但如注意到點B、E為定直線AD同側的兩個定點，便不難轉化為例1中的問題2的模式。而等邊三角形恰好是軸對稱圖形，點B關于AD的對稱點就是點C，連接CE交AD于點P，則點P就是所求作使BP+PE最小值的點。顯然其值為。

上述類型的題目，學生深感困惑。要求我們在平時教學中，應當引導學生學會剝去題目華麗的外衣，揭示題目的本質，向“題根”化歸。教學中，應著重啟發學生關注此類題目中顯明的“對稱”背景，如“正方形，矩形，菱形，角及其平分線，等腰或等邊三角形，圓，拋物線……”這些關鍵詞可視為“題眼”，再結合所熟悉的題根，學生便不難掌握解題思路，且有舉一反三，觸類旁通之效。

2 兩個定點和兩條定直線

例3：如圖4，在平面直角坐標系中，有兩點A（1，2），B（4，2）在x軸，y軸上各有一動點P，Q，要使四邊形ABPQ的周長最小，求作P，Q的位置，并求周長的最小值。

分析：盡管是兩個動點，我們還是嘗試性地作A關于y軸的對稱點A`（-1，2），作B關于軸的對稱點B`（4，-2），連接A`B`與y軸、x軸分別交與點P，Q，連接AQ，QP，PB，AB，則四邊形AQBP的周長最短。

理由：在x軸上任取異于P的點P`，在y軸上任取異于Q的點Q`，連接AQ`，Q`P`，P`B的到一任意四邊形AQ`P`B，連接A`Q`，B`P`，由對稱性易得QA=QA`，Q`A=Q`A`，PA=PA`，P`B`=P`B，四邊形AQBP的周長為：AB+AQ+QP+PB=AB+A`Q+QP+PB`=AB+A`B`，而四邊形AQ’P’B的周長為：AB+AQ`+Q`P`+P`B=AB+A`Q`+Q`P`+P`B`>AB+A`B`，因此，四邊形AQBP的最小周長為：AB+A`B`=3+

點評：對于兩個動點求最短距離時，可將問題轉化為點與點之間線段最短，或點到直線之間垂線段最短的問題。

3 動線段問題

例4：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為OB的中點。若E，F為OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小值時，求點E、F的坐標。

分析：要使四邊形CDEF的周長最小，由于CD、EF均為定值，只需求DE+CF的最小值即可，結合矩形性質，我們可以把動線段EF平移到CG位置（EF=CG），從而確定G，在利用對稱性找E位置，再確定F位置。

解：如圖5，作點D關于x軸的對稱點D`，在CB邊上截取CG=2，連接D`G與c軸交于點E，在上截取EF=2。

∵CG∥EF，CG=EF

∴四邊形GEFC為平行四邊形，∴GE=CF

又DC、EF的長為定值，

∴此時得到的點使四邊形的周長最小，

∵OE∥BC

∴RtΔD'OE∽RtΔD'BG，有。

∴.

∴OF=OE+EF=+2=

∴點的坐標為（，0）點的坐標為（，0）

綜上所述，在我們的學習和生活中處處存在這類最小值問題。解決此類問題的關鍵是合理有效使用幾何中的對稱性化“曲為直”，然后在構造的直角三角形中求得最小值。

浩如煙海的題目同根共源，猶如一棵枝繁葉茂的大樹，都源自同一根系，解一題可以破萬題。只要我們將教學根植于最原始的數學基本概念、圖形和原理，再從最本源的問題出發，讓題目類型化，模型化，數學教學就可以走出題海戰術，減負將不再是空談。

參考文獻

[1]祁斌.關注問題原型透析數學本質—— 對一類“折線”幾何最值問題規律的再探究[J].中學數學教學參考（中旬），2012，7：27.

[2]黃永革，宋文，沈雅玲.平面幾何的最值問題[J].數學教學通訊，1987（2）.