蒙特卡羅方法在期權定價中的應用及R實現

【摘要】期權作為最基礎的金融衍生產品之一，為其定價一直是金融工程的重要研究領域。主要使用的定價方法有偏微分方程法、鞅方法和數值方法。而數值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。本文就是探討蒙特卡羅方法在期權定價中的應用。

【關鍵詞】期權定價 蒙特卡羅模擬 R軟件

一、前言

期權作為最基礎的金融衍生產品之一，為其定價一直是金融工程的重要研究領域。20世紀70年代以來，伴隨著期權市場的迅速發展，期權定價理論的研究取得了突破性進展。第一個完整的期權定價模型由布萊克（Fisher Black）和斯科爾斯（Myron Scholes）創立并于1973年公之于世。在基本假設條件下他們推導出了Black-Scholes微分方程及期權定價公式。在此基礎上很多學者對基本假設條件逐一進行放寬，提出了許多修正模型：如Hull和White的隨機波動率模型，Hoggard、Whalley和Wilmott提出的考慮交易成本的期權組合定價模型，Merton的跳躍擴散模型等。在這些模型中，我們可以得到期權價值所滿足的偏微分方程，從而解出精確的期權解析定價公式。但是，在許多情況下要想得到期權價值的解析卻是做不到的。這時就需要借助數值算法，蒙特卡羅模擬法就是應用最為廣泛的數值算法之一。本文就是探討該方法在期權定價中的應用。

二、蒙特卡羅模擬的基本思路及其實現

（一）基本思路

期權定價的蒙特卡洛方法的理論依據是風險中性定價原理，理論基礎是概率論與數理統計，其實質是通過模擬標的資產價格路徑預測期權的平均回報并得到期權價格估計值。一般地，期權定價的蒙特卡洛模擬方法包含以下幾步（以歐式看漲期權為例）：

1.在風險中性測度下模擬標的資產的價格從初始時刻開始至到期日止的一條隨機路徑。

2.計算在這條路徑下期權的到期回報，并根據無風險利率求得回報的貼現。

3.重復前兩步，得到大量期權回報貼現值的抽樣樣本。

4.求樣本均值，得到期權價格的蒙特卡洛模擬值。

（二）軟件實現

1.實現過程

表示資產在期權簽約日的價格，表示初始時刻，表示期權到期日，表示持有期，表示時間間隔，將持有期分成個相等的時段，則，表示標的資產在時間的價格，表示經過時間間隔后標的資產的價格。

從資產在期權簽約日的價格起，重復利用式（2）次可得資產在期權到期日的一個價格。在的基礎上利用可以計算得到期權在到期日的一個價值。這樣，重復模擬次可獲得個可能的期權價值，最后取。

2.應用實例

本文選取樣本股票為瀘州老窖（000568），模擬其1個月、3個月和6個月之后的期權價格，首先需要計算股票的月收益率方差，為此選擇樣本區間為2011年4月1日—2013年5月31日，在軟件中將周期選擇為月線，我們得到這26個月的收盤價，通過公式：當前周期的收益率=（當前周期的收盤價-上一周期的收盤價）/上個周期的收盤價，計算出收益率，從而得到收益率的方差。各指標值分別如下：

3.模擬結果

（1）歐式期權

通過模擬計算，歐式看漲期權的價格如表1。

通過模擬計算，歐式看跌期權的價格如表2。

（2）美式期權

運用最小二乘蒙特卡羅模擬方法為美式期權定價的基本原理與蒙特卡羅模擬方法基本相同，并且用最小二乘回歸同時還可解決各樣本時點上繼續持有期權價值的確定和各樣本路徑的最優停時的確定。其基本思路是：在期權的有效期內，將其標的資產價格過程離散化，隨機模擬出標的資產價格的多條樣本路徑，從而得到每個時刻資產價格的截面數據。選取以某時刻資產價格為變量的一組基函數作為解釋變量，下一時刻期權價值的貼現值作為被解釋變量，進行最小二乘法回歸求得該時刻期權的持有價值，并與該時刻期權的內在價值作比較，若后者較大，則應該立即執行期權，否則，就應繼續持有期權。

最小二乘蒙特卡羅模擬方法定價的基本實現步驟：首先，隨機生成標的資產價格的多條樣本路徑；然后，從到期時刻逆向求解，比較期權的內在價值與持有價值，確定出各時刻期權價值和每條樣本路徑的最優停時；最后，將所有樣本的的期權價值求取按無風險利率貼現的算數平均值便是模擬的期權價值。

通過不斷地迭代回歸，我們可以得到各個時期的期權價格

三、總結

1.期權定價的蒙特卡羅方法的理論依據是風險中性定價原理，理論基礎是概率論與數理統計，其實質是通過模擬標的資產價格路徑預測期權的平均回報并得到期權價格估計值。蒙特卡羅模擬方法可以用在那些依賴于標的資產價格變量的期權定價中。

2.運用蒙特卡羅模擬時值得注意的是：通過增加模擬的次數或者縮短標的資產價格運動的時間步長可以提高估計的精度。

3.為了提高蒙特卡羅模擬精度需要進行大量的模擬運算，為了平衡精度和運算量，我們可以通過邊際模擬價值來判斷是否結束運算。如果邊際價值近似為0，這時的模擬次數就作為最佳的蒙特卡羅模擬次數（邊際模擬價值=期權價值的變動度/每1000次模擬）。

參考文獻

[1]鄭振龍.金融工程[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]徐成賢，薛宏剛.金融工程：計算技術與方法[M].北京：科學出版社，2007.

[3]薛毅，等.統計建模與R軟件[M].北京：清華大學出版社，2007.

作者簡介：原少斌，男，山西運城人，蘭州商學院統計學院數量經濟學專業，研究生；廖化敏，女，重慶江津人，蘭州商學院統計學院統計學專業，研究生。

（編輯：劉影）