兩種方法估計(jì)Shibor3M短期利率模型參數(shù)

【摘要】本文分別利用 Euler Perdersen 兩種方法對CIR利率模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

【關(guān)鍵詞】利率模型 Euler格式 模擬似然函數(shù)

一、背景介紹

隨機(jī)微分方程被廣泛應(yīng)用于金融，物理，生物等領(lǐng)域。然而在數(shù)學(xué)建模的時(shí)候我們假定是連續(xù)時(shí)間模型但是在實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候觀測的數(shù)據(jù)是離散的數(shù)據(jù)。同時(shí)，隨機(jī)微分方程的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)收斂速率不一樣，以上種種原因，加上問題本身在經(jīng)濟(jì)金融中的重要性，使得隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷成為了統(tǒng)計(jì)中很熱門的一個(gè)方向。統(tǒng)計(jì)中的很多方法也可以應(yīng)用到這個(gè)方向上，在實(shí)際使用中我們主要依據(jù)不同的要求使用不同的方法，本文只使用兩種最基本的方法估計(jì)Shibor利率。

一般而言一個(gè)單因子利率模型可以寫成下述隨機(jī)微分方程的形式：

如果他的轉(zhuǎn)移概率密度有顯示的表達(dá)式的話，就可以直接寫出他的似然函數(shù)，然后使用數(shù)值的方法估計(jì)出參數(shù)。然而，不幸的是，這種情況非常罕見。

估計(jì)（1.1）式的難點(diǎn)在于漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的收斂速度不一樣，這樣一來，一項(xiàng)估計(jì)的較精確，另一項(xiàng)就會(huì)相對表現(xiàn)較差。利率模型的重要性和上述估計(jì)的困難，吸引了大量的統(tǒng)計(jì)學(xué)家從事這一領(lǐng)域，而事實(shí)上大量的統(tǒng)計(jì)方法也確實(shí)可以用在這一領(lǐng)域中。本文使用Euler Perdersen 兩種方法估計(jì)Shibor 3M 利率，時(shí)間從2012年3M數(shù)據(jù)（共249個(gè)數(shù)據(jù)）。

二、估計(jì)方法

（一）Euler 法

Euler 法是基本的參數(shù)估計(jì)方法，因?yàn)樗谠砩系暮啙嵭裕趯?shí)際中也得到了很多應(yīng)用。Euler法在時(shí)間間隔較小的時(shí)候比較精確，但是一旦時(shí)間間隔過大，效果就很不好。此外，對時(shí)間間隔和擴(kuò)散項(xiàng)也有一些要求，就不一一列舉了。設(shè)隨機(jī)微分方程形式為，那么用Euler格式將其

在區(qū)間離散化。如果足夠小，那么。據(jù)此可以寫出似然函數(shù)。

（二）Perdersen 模擬似然函數(shù)方法

Pedersen ，A，R（1995）的方法思想上比較巧妙。上述Euler法在時(shí)間間隔比較短的情況下較為好用，但是假設(shè)一個(gè)區(qū)間太長，比如是月度數(shù)據(jù)的話，估計(jì)結(jié)果就會(huì)很不精確。結(jié)局的辦法是再把區(qū)間分成N份（一般取N=5效果就足夠好了），先用Euler 離散的格式走到第四個(gè)點(diǎn)，然后再用第四個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)的值應(yīng)用（1，1）式的離散形式，這樣就完成了一次抽樣。設(shè)完成M次抽樣，一般M=10000。最后一段轉(zhuǎn)移密度的值用。計(jì)算，再把這些轉(zhuǎn)移密度的值做平均，即得到一個(gè)的轉(zhuǎn)移密度的替代值值，因?yàn)椴⒉皇钦嬲霓D(zhuǎn)移密度值，所以這也是一種QMLE的方法。這樣一來，最后一步的轉(zhuǎn)移密度的Monte Carlo表達(dá)式可以寫成。我們注意到實(shí)際的循環(huán)次數(shù)是非常多的。假設(shè)有251個(gè)觀測數(shù)據(jù)，那么有250個(gè)，那么最少需要有

250100004=1e+07次計(jì)算。那么不難理解為什么有非常多的工作致力于用一些方差縮減技術(shù)提高抽樣精度，減少抽樣次數(shù)。

三、估計(jì)結(jié)果

我們估計(jì)下列簡單的CIR模型的參數(shù)：

四、結(jié)論

Euler 法簡潔有效，而Perdersen的方法如果M不是取得足夠大的話反而會(huì)不精確。而且Perdersen的方法非常耗時(shí)間。--一般的電腦配置，一年250個(gè)數(shù)據(jù)，取M = 10000的話大概要算8個(gè)小時(shí)。所以要滿足即時(shí)報(bào)價(jià)的要求的話，Perdersen的方法是很難做到的。當(dāng)然，以上的兩種方法是最基礎(chǔ)的方法，事實(shí)上 ，計(jì)量中比較有代表新的估計(jì)方法都可以應(yīng)用到隨機(jī)利率模型的參數(shù)估計(jì)之中。那么，已經(jīng)有那么多種估計(jì)，為什么還要研究隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)呢，主要的原因在于隨機(jī)微分方程的漂移項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)的收斂速度不一樣，換言之，一個(gè)的信息會(huì)干擾另一個(gè)的信息，一項(xiàng)估計(jì)的準(zhǔn)確，另一項(xiàng)就會(huì)不準(zhǔn)確。然而實(shí)際的使用上又是離散的觀測值，所以這個(gè)問題一直是熱門的問題。

五、展望

現(xiàn)在的研究幾種在多維，帶跳的過程，Levy過程。其中數(shù)值方法應(yīng)用與帶跳的隨機(jī)微分方程的文獻(xiàn)一直較少，不過最近Eckhard Platen 出了一本專著Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance 。可以作為研究的起點(diǎn)，但是要在高維滿足簡潔精確快速地要求一方面是大量的問題，另一方面是嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] SM Iacus.Simulation and inference for stochastic differential equations： with R examples [J]. Springer，2009.

[2] SM Iacus.Option Pricing and Estimation of Financial Models with R[J]. Wiley，2011.

[3] BLSP Rao.Statistical inference for diffusion type processes[J]. Wiley，1999.

作者簡介：張睿（1982-），四川成都人，漢族，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，碩士研究生，研究方向：金融數(shù)量分析。

（編輯：陳岑）