讓學生經歷“結構化”的過程

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾說過：“與其說讓學生學習數學，不如說讓學生學習數學化。”在進行整理和復習時，與其幫助學生完善認知結構，不如讓學生經歷一個“結構化”的過程。數學知識是結構化、系統化的，因此，在兒童的數學學習中，結構化思維的培養具有十分重要的意義，而結構化思維只有在結構化的教學中得到啟迪和培養。在整理圖形知識時，不妨讓學生經歷一個“結構化”的過程。

一、“求聯”——構建圖形的網絡關系

美國教育心理學家布魯納認為，學生“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識”。教師教學時，不能教孤立的片段，而應該教連貫的材料，因為有聯系的事物學得快，記得牢。因此，教學活動的關鍵在于“不應求全，而應求聯”。

1.分類梳理

分類是一種比較常用的整理方法。進行圖形知識的系統整理時，可先讓學生回顧所學的圖形，然后引導他們進行分類。圖形知識的樹形圖內容如下：圖形包括平面圖形和立體圖形，平面圖形包括多邊形和圓等圖形，多變形包括三角形、四邊形、五邊形等，三角形包括銳角三角形、直角三角形、銳角三角形，四邊形包括平行四邊形、梯形等。這樣的梳理能使知識形成體系，凸顯清晰的邏輯結構

2.畫圖凸顯

畫圖是一種 “高級”的表達方式，它能將我們的理解更直觀化。圖形之間的關系比較復雜，既有包含關系，也有并列關系。引導學生用集合圖的方式表示出兩個或者幾個圖形之間的關系。然后通過反饋交流，進一步完善，最終出現有關圖形的完整集合圖，內容如下：圖形包括平面圖形和立體圖形，平面圖形包括多邊形和圓等圖形，多變形包括三角形、四邊形、五邊形等，三角形包括銳角三角形、直角三角形、銳角三角形，四邊形包括平行四邊形、梯形等；立體圖形包括長方體、圓柱、圓錐等，長方體又包括正方體。

顯然，就圖形知識的整體性把握而言，我們不應停留于邏輯關系，而應努力幫助學生建立起相應的圖形網絡（認知結構）。“邏輯結構”與“認知結構”的一個重要區別是：前者表現為線性的、單向的關系，后者則是雙向的（多向性）、網狀的。整理圖形的關系時，從大處著手，先構建大的框架，能使部分和整體之間的關系形成一種網狀結構，這對于構建清晰的認知結構至關重要。

二、“求同”——尋找圖形的對應關系

圖形知識這一系統可分成許多子系統，把各子系統橫向比較，會發現它們之間有某些對應關系，其組織結構可能相同，其研究過程也可能相同，這些都可看作是“同構”。因此，在整理圖形知識時，求同的舉措，能探尋到圖形之間某種對應關系。

1.研究方式邏輯線路之相同處

譬如，在幾何中，三角形與各種多邊形的研究方式同構，一般都是先定義概念，再研究圖形性質。譬如，組成它的點、線、面數量與性質，內部存在的角的大小，以及周長、面積、體積等，再研究圖形與其他圖形的關系（相等、相交、平行、垂直等）。

2.計算公式推導圖式之相同處

對各知識子系統“同構”關系的發現與把握非常有價值，能促使我們找到表面異質的各子系統的同質性，獲得“舉一反三”之效，促進學生的理解和簡化記憶。其實，仔細分析就會發現，這些相同的“構”其實就是數學基本思想方法。正因為數學家研究不同領域用了相同的量化、邏輯化、化歸化、結構化等基本思想方法，才出現了各子系統之間的同構性。

三、“求通”——突出圖形的轉換關系

教師出示長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形，讓學生思考：這些立體圖形跟哪些平面圖形有關系？并畫出相應的示意圖。

通過交流展示，學生會形成如下共識：長方體跟長方形（或正方形）有關系，長方體是由六個長方形圍成。正方體跟正方形有關系，它由六個正方形圍成。圓柱跟圓有關，也跟長方形（側面展開圖）有關，圓錐跟圓和扇形有關。其實，很多平面圖形都能從立體圖形上找到，因此，我們可以說“面在體上”。而立體圖形都是由面圍成的，也可以說“面圍成體”。

2.由平面圖形聯想到立體圖形。

出示一些平面圖形，如長方形、梯形、圓、直角三角形、正三角形、正六邊形，讓學生說說，看到某一個平面圖形會聯想到哪些立體圖形。

在同伴的相互啟發下，學生會達成如下共識：看到圓會聯想到球或圓柱，看到三角形會聯想到圓錐或三棱錐，看到六邊形會聯想到六棱柱等。教師還可順勢進行課件演示，如：將長方形旋轉成圓柱，接著，將長方形變形為梯形，再將梯形旋轉成圓臺，隨后，再將梯形變化為三角形，最后將三角形旋轉成圓錐。事實上，平面圖形和立體圖形雖是并列關系，互不干涉。但換個角度思考，又能找出很多的聯系。這正體現了數學之神奇，對立之中又往往體現著統一。

總之，高度結構化的知識不僅不易被遺忘，即便已遺忘，它也有著多重途徑被找回。當知識被高度結構化的時候，新的知識就能被順利連接，并被融合進已有的知識網絡中，而不是只產生元素之間的單個連接。當學生具備“求聯”、“求同”、“求通”等結構化思維時，他們學習數學就能經歷一個“結構化“的過程，掌握知識時，也能做到觸類旁通、舉一反三。

（作者單位：江蘇省張家港市云盤小學）