2013年高考立體幾何試題賞析

高中立體幾何的核心內容是空間幾何體的認識，空間點、線、面位置關系的確定以及空間幾何的有關度量（包括表面積、體積、角、距離的計算.綜觀2013年全國各地的高考數學試卷，多數試題已經突破了傳統的考查框架，在命題風格上，正逐步由封閉性向靈活性、開放性轉變.盤點2013年高考立體幾何試題，提煉其命題特點、亮點，希望對今后立體幾何的復習教學有所裨益.

1 三視圖題——顯常規而不拘一格

例1 （2013年高考全國新課標卷Ⅱ·理11）某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積為（ ）

A.16 8π+ B.8 8π+

C.16 16π+ D.8 16π+

命題意圖 考查空間想象力，能正確分析圖形中基本元素及其相互關系，能夠對空間圖形進行分解與組合，同時通過對幾何體面積或體積的計算，考查推理與計算能力.

思路分析 該幾何體是個組合體，其下面是個半圓柱，上面是個長方體，如圖2.

點評 解題關鍵是還原幾何體，其基本要素是“長對齊、高平齊、寬相等”，能從不同角度去看幾何體.

體會與感悟 此類題型重點考查方向：復原—能識別三視圖所表示的主體模型；求積—能根據立體模型求它們的體積或表面積；識圖----根據提供的部分三視圖畫另外的一個三視圖.

2 求空間角——傳統與向量法兼備

點評 解題關鍵是恰當地建立空間直角坐標系，正確地寫出各點坐標，準確地求出兩個半平面的法向量（或直線的方向向量）的坐標，或“找”（“作”）出角，然后熟練地運用公式計算.

體會與感悟 空間向量在立體幾何中起工具性的作用，因其避開了“作”、“找”角的難度，在代數與幾何中起了承接作用，使傳統法與空間向量法相輔相成.

4.2 翻折

例5 （2013年高考廣東卷·理18）如圖7，等腰三角形ABC中，90A∠=d，6BC =，D，E分別是AC，AB上的點，2CDBE==，O為BC的中點，將ADEΔ沿DE折起得到如圖7所示的四棱錐ABCDE′？，其中3A D′=.

（Ⅰ）證明：A O′⊥平面BCDE；

（Ⅱ）求二面角ACDB′？？的平面角的余弦值.

命題意圖 考查化歸與轉化思想，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力

思路分析（Ⅰ）根據翻折前后線線關系推導出線面垂直的條件.（Ⅱ）作出二面角，通過解三角形求解，或者建立空間直角坐標系后使用法向量求解.

點評 解題關鍵是理清折疊前后平面圖形與空間幾何體間的對應關系.

體會與感悟 在翻折問題中，要從翻折前后線線位置關系的“變”與“不變”中找到解決問題的切入點，翻折前后位于相同平面中的線線位置關系不變，位于不同平面中的線線位置關系可能發生變化.

5 位置關系證明題——立體平面降維轉化

5.1 平行關系

例8 （2013年高考安徽卷·理19）如圖9圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5d，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60d.

（Ⅰ）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；

（Ⅱ）求cos COD∠.

命題意圖 本題考查空間直線、平面平行關系的性質與判定等基礎知識和基本技能，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.

點評 解題關鍵是根據題意取AB中點O，進而得到垂直關系.

體會與感悟 線線垂直、線面垂直、面面垂直三種關系的相互依存與相互轉化是解決垂直問題的最基本方法.