數形結合在2013年高考選擇、填空題中的應用舉例

“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微.”在這首詩中華羅庚先生指出了數與形相互之間的關系，揭示了數形結合思想方法的本質和重要性.數形結合思想是中學數學中七個常用基本思想方法之一，在高考數學試題中，數形結合的滲透是方方面面.題目主要出現在集合、函數、導數、解析幾何及不等式最值等題目上，把圖象作為工具、載體，不僅可以直觀，而且易于尋找解題的途徑和突破口，以此尋求解題思路或制定解題方案，能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，尤其在解選擇或填空題時其優越性更加突出.

從近年高考課標卷來看，對數形結合等思想方法的考查，是對數學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質和數學技能的考查，是課標課程高考明確的一個命題方向.本文從五方面結合2013年相關高考試題談談數形結合思想方法在解選擇或填空題時的應用.

解析 因為A={x | x<0或x >2}，利用數軸非常直觀的得出答案A∪B= R，故選答案B.

點評 不等式型集合的交、并、補通常可以利用數軸直觀進行，有時解題還要注意驗證區間端點是否符合題意.

點評 本題如果直接計算，涉及到弦長公式、點到直線距離公式以及求最大值等問題，運算繁瑣，得不償失.此題運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程，從而能極大的提高解題效率.

點評 本題本質上是把方程實根的個數轉化為兩個函數的圖象交點個數，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想，本題考查了函數的極值點、方程的根、函數與導數的關系，綜合了二次函數的基本性質等，難度比較大，綜合性很強，對考生的能力要求非常高.一般從“形”入手更為直觀，利用其圖象特征，就可以找到解題思路，利用圖象進行分析.當然不是只用圖象解出，還需相應的數學具體變形與運算，這樣才體現數形結合，爭取做到胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.

數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.總而言之，數形結合思想方法的應用是有條件的，若問題所涉及的“數”具有“形”的特征，或“形”具有“數或式”的特征，則可以應用數形結合的思想方法解之，當然這種特征要依賴于基本的數學知識和數學概念，依賴于良好的思維品質和一定想像力這一前提.

《考綱》指出“數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想思想方法的考查，注重對數學能力的考查”， 數形結合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，靈活運用數形結合的思想方法，可以有效提升思維品質和數學技能.從目前高考“重視思想方法，注重通法，淡化技巧”的命題原則來看，我們在教學上要更加重視學生在數形結合的思想方法上的訓練.