一道課本例題的研究性學習

1 問題的提出師：誰能說說你是怎么求解的？理由是什么？生1：利用平面幾何圖形的特征，先求出圓心到直線的距離3d =，從而得到最小值為1dr？=，最大值為5dr+ =.

師：很好！能否從代數方面嚴格證明這個結論呢？

師：回答得很完整，很到位！他先通過畫圖，尋找到思路后再通過代數方法進行論證，說理很充分！那解決這個問題就有上面的三個方法了，大家比較一下，哪一種方法更為方便？哪一種方法又是解決圓錐曲線和直線位置關系問題的通性通法呢？

生4：對圓與直線的位置關系問題方法1較為方便，但方法2和3不僅可以適用于圓和直線，還適用于橢圓、雙曲線、拋物線和直線的相關問題.

師：總結得漂亮！以后我們要針對不同問題選用恰當的解題方法，這樣有助于簡化解題過程和節約解題時間.由上面的討論，我們知道圓上的點到直線的距離在1到5之間，不存在小于1或大于5的點.

如果把題目的條件和結論稍作變動，你會有何發現呢？

（問題提得比較發散.教師的本意是想讓學生把圓或直線這兩個定曲線變成動曲線來研究.）

生：發現？！

（在學生看來，這是一個非常簡單的問題，運用平幾知識一解了之，題目沒有任何新意，學生對此本沒有什么興致.然經老師這一問“有何發現”，精神為之一振.教學中非常重要的問題之一是：在無疑處生疑，想方設法調動學生思維的積極性.）

師：對，只要認真觀察、思考，必有重大發現！

（為進一步激發學生思維的積極性，教師有意夸大其辭.）

師：平面上到直線l距離等于1的點在哪里？這類題目能不能換個角度來思考？

生7：平面上到直線l距離等于1的點在與直線l平行的兩條直線12， l l上，圓上有幾個點到直線l的距離這個問題，就可以轉化為研究動圓和直線12， l l的位置關系.

師生：太棒了！有效合理地轉化，是解決數學問題的有效途徑.

師：剛才是固定直線和圓的圓心位置不動，改變圓的半徑，能否固定圓不動，改變直線的位置呢？

又經過幾分鐘的觀察、思考后，學生們發現（讓有所發現的學生逐個報告發現的結果）

生8：（題3）已知圓224xy+=上到直線30 xyC？+=距離等于1的點有1個，則實數C的值為________.

生9：（題4）已知圓224xy+=上到直線30 xyC？+=距離等于1的點有2、3、4個，則實數C的取值范圍為______.

師：你們真的太棒了！竟然連高考題都編得出來呀！

（題5）在平面直角坐標系xoy中，已知圓上有且僅有四個點到直線1250xyc？+ =的距離為1，則實數C的取值范圍是_____.

師：現在大家把剛才改編的題目1—5完成以下.（大約5分鐘，幾乎全部同學都完成了，而且正確率很高.學生的情緒因成功的喜悅越來越高漲！）

師：刻畫直線的位置關系需要哪幾個要素？

生：兩個點或一個點加斜率.

師：剛才所給的直線是斜率確定的一組平行直線系，如果改成過定點的直線系，情況如何？

（題6）若圓22（2）（2）18xy？+？=上至少有三個不同點到直線：0l ax by+=的距離為2 2，則直線l的傾斜角的取值范圍為______.

師：題6的關鍵在哪兒？

生10：關鍵在于如何畫圖.

師：那大家考慮一下，如何來畫圖？要注意一些特殊的要素！（經過了5分鐘）

3 教后反思

3.1 教材是開展研究性學習的藍本

高考命題“源于課本，高于課本”.課本是試題的根，在教學中，我們需要反思如何才能充分利用好課本例習題的功能.如何對例習題進行改編，從而放大課本經典例習題的作用，加深學生對例習題的理解.以課本上的數學知識為內容進行選題不僅可行，而且有效，教材是開展研究性學習的“資源庫”，這些材料可以是數學概念、公式、定理、法則的提出過程，結論的推導過程，知識的發生、發展和形成的過程，解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程等.教師可以把這些知識形成過程的教學設計為學生再發現，再創造的研究性學習活動.

3.2 研究性學習的選題要注意平民化

著名數學教育家G·玻利亞指出：“拿一個有意義又不復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”由此可見選題的重要性.高中數學研究性學習的實施過程中，要考慮選題的起點不宜過高，要便于每個學生都能找到自己的切入口，都能在過程設計中體驗自己的參與，都能在自主探索、合作交流中展示自己的所長，體驗自身的價值，使不同水平的學生取得不同的提高，從而使絕大多數學生都能通過研究性學習樹立起自信和興趣.總的來講，選擇的問題難度盡可能處在學生的“最近發展區”內，以真正吸引學生參與到研究活動中，為促進全體學生全面發展，為學生終生學習打下堅實的基礎.

3.3 課堂教學應是動態生成的

葉瀾教授曾經指出：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和風景的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程.”的確，課堂教學是一個漸進的、多層次和多角度的非線性序列，是師生及多種因素間動態的互相作用的推進過程.經驗告訴我們：老師把學生看成了課堂學的主體，學生便成了課堂的思想者、活動者，課堂就充滿了智慧，充滿了生成，充滿了活力，學生會感受到成功的快樂，而這種快樂又會成為學生學習數學更強的內驅力，這就是我們期盼已久的動態的生命課堂.它是自主與引領統一、教與學和諧、預設與生成并重的教學過程，體現了學生的主動與老師的靈動，關注了師生的生命體驗，充滿了生命氣息與活力，使師生共同發展、和諧發展、持續發展成為可能.

3.4 學生的潛力是可以發掘的

數學新課程標準凸現了以人為本的教學理念，要求我們把課堂還給學生，讓學生變得更加好問，讓我們的課堂不再“安靜”，而是充滿活力和生機，讓課堂成為孩子創新的搖籃，讓學生真正成為課堂的主人.這節課事實證明：如果你相信學生，讓學生主動研究，充分發表意見，你就會發現學生蘊涵著無窮的創造力，你就會覺得自己實在沒有比學生太多的高明.教師只有充分尊重學生，耐心傾聽學生的想法，及時鼓勵點撥，適時提醒鞭策.營造一個寬松而又緊湊的、平和但又充滿挑戰的教學情境，使學生更加主動地參與到學習過程中，學生的巨大潛力才能得到最大限度的開發.很多事實證明，我們的學生都是好樣的，教師務必樹立這樣的觀念.

總而言之，研究性學習有利于新型師生關系的建立，有利于學生形成科學的思維品質、培養創新精神和實踐能力，有利于學生更主動、靈活地獲取知識，既夯實雙基，又提高綜合能力，為進一步的深入學習打下堅實基礎.