一道課本習題的解法探究與延伸

分析 上述兩種解法在學生作業中出現比較多，因為這種建立坐標系的方法更符合學生的思維習慣，很容易想到，方法一主要利用直線方程帶入圓的方程，再利用韋達定理以及兩點間距離公式進行轉化、化簡，但是過程十分繁瑣，而且容易化簡錯誤.方法二則設出了P點的坐標，利用中點坐標公式得到Q點坐標，看起來有點麻煩，但在化簡過程中要比第一種方法簡單一些.如何建立坐標系才能使過程更加簡單呢？

解法5 與方法四類似直接利用平行四邊形中四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和的結論即可得證.

分析 這兩種解法主要是利用了向量的運算和平行四邊形的性質，以及平行四邊形中四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和的結論（見人教版必修2的第105頁）.

由以上幾種方法分析，在解決平面幾何問題時，我們可以通過解析法，建立坐標系和方程，由形化數；也可以在解決解析幾何問題時，利用平面幾何圖形的性質，化數為形這樣兩種方法相互滲透，相互彌補，數形結合，從而找出更加簡單的解決問題的思路.

對于本題的幾種解法歸納延伸，可以得到如下的結論：

若兩條定長的線段互相平分，則其中一條線段的一個端點到另一條線段的兩個端點的長的平方和為定值.在此基礎上筆者編寫了如下兩個例題：

以上兩道題目通過平面幾何方法很容易得證，當然也可以用解析幾何的方法，通過建立直角坐標系得到證明，因此對于教材上的一些例題或者練習題多加思考，多做探究，也許就會有不小的收獲.