例析用待定系數法求幾類遞推數列的通項公式

數列是代數的重要內容之一.在現行的課標課程中，雖然數列的學習時數有所減少，但其在全國各地的高考試題中仍占有重要的地位，每年都有省（市）把數列作最后一題.通過遞推公式求數列的通項公式是本章節的難點，而待定系數法和構造法是數學解題的重要方法.下面通過對近年來部分數列試題的分析，談談待定系數法和構造法在某些已知遞推公式求數列的通項公式問題中的運用.

評注 在此類二階遞推關系的問題中，“化歸與轉化”是解題的法寶.從二階遞推轉化到一階遞推，再轉化到類型I，最終轉化到基本數列求解.

數列是初等數學與高等數學的銜接點之一，遞推公式是認識數列的一種重要形式，是給出數列的基本方式之一.由遞推公式求數列的通項公式是難點，不少競賽教材介紹了“特征根法”或“不動點法”，但技巧性較強，一般學生不容易接受.利用“待定系數法，構造新數列”的這種方法凸顯“解題方法的高等化”，即解題注重程序（通法）、淡化技巧，避免陷入“偏難怪”的泥坑，同時體現了對數學思想方法“化歸與轉化”等的考查，所以研究用“待定系數法，構造新數列”解決遞推公式求數列通項公式的問題是很有必要的.當然，數列的遞推公式給出方式很多，用“待定系數法，構造新數列”的方法也僅能解決部分的問題.