2013年高考數學福建理科卷第18題的背景揭示及感悟

2 背景揭示

從試題的思想來看，第（Ⅰ）題證明9個點都在同一條拋物線上，考生可從特殊入手，通過合情推理得出結論并加以驗證；也可通過演繹推理直接證明，考查考生推理論證的能力； 從題目的背景來看，此題來源于人教版選修2-1教材習題2.2中B組第4題：

實際上，高考題和教材中的題目均來源于研究圓錐曲線的一種產生辦法（在這里提供兩種證明方法）：

定理2.1 設（0 1）k∈，，在矩形ABCD中，2ABa=，2BCb=（其中0ab>>），E F G H，，，分別是AB BC CD DA，，，的中點，O為EG與HF的交點，R′為CF邊上一點且CRkb′=，R為OF邊上一點且ORka=，直線ER與直線GR′交于點P，則點P在以2a為長軸長，2b為短軸長，O為中心的橢圓上.

證明1 以HF為x軸，HF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示.

設點（）P x y，，過點P作PMEG⊥于點M，過點P作PNCD⊥于點N，

定理2.3 設（0 1）k∈，，矩形ABCD中ABa=，BCb=，R為BC邊上一點，且BRkb=，直線AR與直線xka=交于點P，則點P在以A為頂點，開口向上，且過點C的拋物線上.

定理2.1～2.3給出了利用矩形等分產生圓錐曲線的方法，對定理2.2、定理2.3的證明與定理2.1類似，不再贅述.推論2.1在雙曲線和拋物線中也有類似的結論，限于篇幅，不再贅述.

3 感悟反思

3.1 透過特殊現象，抓住問題實質

數學語言的表達時常較為形式化，但形式化的數學表達往往隱含著深刻的內涵.在數學教學中，處理好形式與本質、抽象與直觀的關系，對學生掌握數學知識，提高學生在新數學情境中處理問題的能力有很重要的作用.

2013年高考福建理科卷第18題和人教A版教材（福建省主用教材）選修2-1習題2.2中B組第4題，都是檢驗題設中的點是否在給定的圓錐曲線上.筆者在本文中2的論述表明，這兩個問題的本質是一樣的，都是研究圓錐曲線的生成或其相關性質，這一性質在測繪方面有較為廣泛的應用，高考題正是以課本習題為背景并體現教材中的數學知識的生活實用價值.在教學過程中，除了給學生介紹必要的解題方法之外，還要適當挖掘問題的內涵與外延，讓學生掌握數學問題的本質，同時挖掘數學與生活的聯系.

3.2 以考綱為基礎，用好教材進行教學

在平時教學中，我們可以結合教材提供的材料為學生設置一個探究性的課題，讓學生進一步感受三種圓錐曲線的聯系，享受數學知識的和諧美.在問題的研究過程中，豐富學生關于圓錐曲線生成的認識，還可以啟發學生探索研究圓錐曲線的性質，有助于加深學生對圓錐曲線的認識.

數學教材對教師在教學內容方面進行了規定，而新課程背景下的數學教學，應該對教材內容進行深入挖掘，合理利用好教材提供的各種素材，利用教師自身專業素養對教材進行開發，結合學生的特點進行教學.

3.3 鉆研不同版本教材，開發校本教材

本文2中提到的問題，在蘇教版選修2-1《圓錐曲線》一章的“思考·運用”板塊中有類似的敘述（表現的形式有所差異，本質相同，感興趣的讀者可以查閱，這里不再贅述）.另外，蘇教版教材在選修2-1《圓錐曲線》一章的“探究·拓展”板塊中還提供了利用圓錐曲線的切線的包絡產生圓錐曲線的方法（在文[1]中有相關研究）.可見，蘇教版教材注重圓錐曲線性質研究的同時還注重其生成方法的探究.一線教師如果能在教學過程中，對不同版本的教材進行比較研究，取長補短，可以有助于加深對同一類問題的認識.

隨著課改的進行，不同版本的數學教材相繼發行.雖然每個版本的教材都是圍繞著《課程標準》進行編寫，但是由于不同編寫組的所站的角度不同，編寫教材所供使用的范圍不同，使得每個版本的教材各具特色.這恰恰是不同版本的教材存在的意義，大大增強了教材的適用性，使數學教學進入個性化時代，切實做到“百家爭鳴”.另一方面，不同版本的教材也為教學工作者提供了豐富的教學參考材料.教材編寫組是由對應領域專家組成的，不同版本的教材正為教學工作者提供不同學者對同一問題的不同看法，為教學研究提供了豐富的材料.作為一線教師，應當站在“巨人”的肩膀上，結合學生的特點，組織教學內容，進行校本教研.