淺談如何求解分式三角函數最值

摘 要： 三角函數最值問題是函數最值問題的一個重要組成部分。求解時不僅用到三角函數知識，還要用到函數以及一些幾何知識，因而這類問題在解題方法上具有很強的綜合性和靈活性，能夠訓練學生的思維能力和解題能力，尤其是發散思維的培養。

關鍵詞： 最值；綜合性；靈活性；發散思維

中圖分類號： G427 文獻標識碼： A 文章編號： 1992-7711（2013）22-091-1

函數最值定義：函數最值：一般地，設函數的定義域為A.若存在x0∈A，使得對于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數f（x）的最大值，記為f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得對于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數f（x）的最小值，記為f（x）min=f（x0）.

分式三角函數最值求解方法很多，現主要歸納為以下幾點：1.拆項觀察；2.反解法；3.數形結合法；4.應用函數單調性求解法.如何求函數y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆項觀察法

分析 可將原式化為整式和分式兩部分，其中分式部分：分子是常數、分母是關于變量sinx的多項式.

解 在原函數僅含有變量sinx，于是原函數可進行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函數有界性）

對于求形如y= ct+d at+b （其中t為三角函數）分式最值問題，可用反解法，即把原分式y= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范圍.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y·（2sinx+3）=sinx-2，

可整理為 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、數形結合法（斜率與兩點之間的距離有兩種情形）

數形結合法即將代數問題轉化為幾何問題來處理.根據所給表達式的特點，在坐標平面上考慮各種曲線間的關系，以獲得該三角函數問題的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 設P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直線PQ的斜率的取值范圍點P的軌跡是圓a2+b2=1，即求圓上點與Q點連線斜率最值.由圖知當PQ與圓相切時，斜率取得最值.

設PQ的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切條件得原點到直線的距離等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此題中點P的軌跡，若是直線又如何呢？例8將為你介紹.

四、應用函數單調性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先證明f（x）在[0， π 2 ]上是單調增函數.

解 設x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2） <0

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此種解法僅實用于函數在給定區間是單調函數.

以上探討了多種求分式三角函數最值的方法，由于三角函數最值問題題目類型的多樣性，在求此類問題時，我們會發現其中許多題型的解法并不唯一，一題可能有多種方法求解.諸多方法也并非是獨立的，解一道題目可能會應用多種方法，才能最終解出最值.并且在求解的過程中，我們要學會進行轉化的思想.也許所給題型不是以上列舉的類型，但是我們需要判斷是否能夠轉化為已知類型的問題來求解，這就需要我們有一定的轉化變換技巧和思想.因此，在解此類問題時不僅要靈活運用三角變換的方法和技巧，還要充分注意代數知識和幾何知識的運用，以提高解決此類問題的能力.

[參考文獻]

[1] 李衛華.三角函數最值問題的十種求解方法[J].和田師范專科學校學報，2006（05）.

[2] 孫虎.求三角函數最值的幾種模式[J].數學教學通訊，2005（S4）.