多變量比例關系推導過程的思考與改進

摘 要：在高中物理教學中，很多公式的推導涉及到多變量的比例關系，而有關變量關系的推導陳述偏于簡單，缺少必要的嚴密性和邏輯性，往往讓學習者不明所以。本文就這類多變量比例關系的推導的改進，淺談自己的一些思考。

關鍵詞：多變量；正比例關系；牛頓第二定律；萬有引力定律；推導

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）20-070-1

一、改進實驗，讓牛頓第二定律推導過程令人信服

牛頓運動定律在高中物理中的地位舉足輕重，作為實驗定律的牛頓第二定律，其教學的重點是實驗設計，在完成實驗得出正確結論后，再用數學方法進行推導。筆者長期從教高中物理，認為教材中的推導過程不能令人信服。

教材在本章第二節“實驗：探究加速度與力、質量的關系”得到的實驗結論“在m一定的情況下，a與F成正比；在F一定的情況下，a與1m成正比”的基礎上，直接由aF以及a1m就得到了aFm，進而得到Fma，然后把比例式轉換成等式F=kma，最后由量綱得到在F的單位取N，m的單位取kg，a的單位取m/s2的情況下，k=1。至此，牛頓第二定律的表達式F=ma推導完畢。

仔細琢磨，我們會產生疑問，而疑問就在于，從aF和a1m這兩個正比例關系式，是否可以直接得到aFm這個正比例關系。從數學角度出發，由aF可得a=k1F（1），由a1m可得a=k21m（2）。那么我們把（1）（2）兩式相乘可得a2=k1k2Fm（3），從（3）式中我們只可以得出a2Fm，而無法得到aFm。

在《自然哲學之數學原理》一書中，牛頓當年只在“運動的公理或定律”這一部分，直接提出了“定律Ⅱ”：“運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向。如果某力產生一種運動，則加倍的力產生加倍的運動，三倍的力產生三倍的運動，無論這力是一次還是逐次施加的。而且如果物體原先是運動的，則它應加上原先的運動或是從中減去，這由它的方向與原先運動一致或相反來決定。如果它是斜向加入的，則它們之間有夾角，由二者的方向產生出新的復合運動。”不難看出，這段文字只是向我們闡述了牛頓第二定律的內容，并沒有談及推導的過程。

筆者反復思量，總覺得教科書中對牛頓第二定律的推導過程有稍許不妥，下面提出自己的一點修改建議。在實驗的基礎上，我們已經得到aF，那么利用數學知識可以得到a=k1F。而加速度a還與物體的質量有關，在已得到的關系式a=k1F的基礎上，不難想到此處的“比例系數”k1必和m有關，k1必然是與物體質量有關的變量！

二、以理服人，再談萬有引力推導過程的思考與改進

在人教社《物理必修二》教材第六章第二節“太陽與行星間的引力”中對太陽與行星間的引力的關系FMmr2的推導中，筆者有著同樣的疑問。

教材在這一節中首先通過行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力的表達式Fm=mr4π2T2（6）和開普勒第三定律R3T2=k（7），得到太陽對行星的引力F=4π2kmr2（8）。在（8）式中，等式的右邊除了m、r以外，其余的量對任何行星來說都是相同的，都是常量，所以可以得到Fmr2（9）。

同理可以得到行星對太陽的引力F′Mr2（10），根據牛頓第三定律可知F=F′，即FMr2（11），最終由（9）式和（11）式得到太陽與行星間引力的大小與太陽的質量、行星的質量成正比，與兩者距離的二次方成反比，即FMmr2。

這樣的分析思路和在“牛頓第二定律”中的思路如出一轍，筆者認為同樣有點不妥。我們在得到（11）式后，再對比（8）式不難發現在（8）式中F與M有關的只能是k，（11）式中的FM說明kM，這樣得到FMmr2就顯得順理成章，讓人信服。所以筆者建議在得出FMr2后，教材可以多設置一個問題：“太陽與行星的引力滿足F=4π2kmr2，那么該式中常數k與什么有關呢？”在學生充分思考討論的基礎上，教師再做出總結。

以上僅為力學中兩個比較典型的例子，類似的推導還有不少：如在庫侖定律得出之前，庫侖通過做實驗得出力F與距離r的二次方成反比，即F1r2，后來就給出了電荷間的作用力與電荷量的關系：力F與q1和q2的乘積成正比，即Fq1q2，教材上闡述完這部分結論后，直接用一個公式來表示庫侖定律，就是F=kq1q2r2（k是比例系數）；在導體電阻決定式推導中，由實驗得到的結論是：同種材料的導體，其電阻R與它的長度l成正比，即Rl，與它的橫截面積S成反比，即R1S，導體電阻還與構成它的材料有關，此處教材直接給出公式：R=ρlS（式中ρ是比例系數）。

從中我們可以發現，在高中物理教材中通過ab和ac得到abc這樣的推導過程并不在少數，而這種推導方法并不是在任意情況下都成立的。在得到ab，即a=kb，那么只有當c與a的關系是包含在比例系數k之中（即kc）的前提下，我們才可以推導出結論abc。只有對這種特殊情況進行清楚的說明才可以讓邏輯推理更加嚴謹合理，而教材對此皆是一帶而過，并無任何解釋和說明，這與學生腦中的數學知識體系形成了一定的沖突和矛盾，給他們理解物理公式的由來會帶來一定的困難，教師可以根據學情對推導過程進行適當改進，讓他們豁然開朗。