用二分法求方程近似解的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

摘 要：通過研究學(xué)生的“學(xué)”來促進(jìn)教師的“教”，通過對(duì)學(xué)生“學(xué)”中出現(xiàn)問題的不斷深入和研究，使教師逐步向科研型教師轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)在學(xué)生的發(fā)展中創(chuàng)新科研型教師的培養(yǎng)。注重學(xué)生參與知識(shí)的形成過程，動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦相結(jié)合，使他們“聽”有所思，“學(xué)”有所獲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

關(guān)鍵詞：以學(xué)促教；數(shù)學(xué)教學(xué)；反思

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2013）20-057-2

隨著江蘇省各地市、各學(xué)校先后在課堂教學(xué)中對(duì)“生本”理念的不斷貫徹和提升，“創(chuàng)新”已經(jīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的靈魂。在“把課堂還給學(xué)生”的呼聲中，我校也提出了《以學(xué)促教，師生協(xié)同成長(zhǎng)的實(shí)踐研究》課題，該課題作為省“十二五”課題的子課題已在太倉立項(xiàng)。這一課題的提出，不僅對(duì)學(xué)生而且對(duì)教師都提出了更高層次的要求。通過該課題的研究，擬解決以下三個(gè)主要問題：

（1）在“以學(xué)生為主體”的課堂教學(xué)模式下，逐步使學(xué)生完善從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)思考的轉(zhuǎn)變。

（2）通過不斷研究學(xué)生“學(xué)”中的問題，完善教師的“教”的教學(xué)設(shè)計(jì)。

（3）通過對(duì)學(xué)生“學(xué)”中出現(xiàn)問題的不斷深入和研究，使教師逐步向科研型教師轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)在學(xué)生的發(fā)展中創(chuàng)新科研型教師的培養(yǎng)。

下面結(jié)合《用二分法求方程的近似解》這節(jié)課談?wù)勎覀兪侨绾螌ふ疫m合學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)的。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1必修本》的第三章3.4.2用二分法求方程的近似解。本節(jié)課要求學(xué)生根據(jù)具體的函數(shù)圖象，能夠借助計(jì)算機(jī)或信息技術(shù)工具計(jì)算器，用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系……

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)，理解函數(shù)零點(diǎn)和方程根的關(guān)系，初步掌握函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想。但是對(duì)于求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，只是比較熟悉求二次函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)于高次方程和超越方程對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的尋求會(huì)有困難。另外算法程序的模式化和求近似解對(duì)他們是一個(gè)全新的問題。

三、設(shè)計(jì)思想

倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)精神和合作探究式的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，注意適度形式化；在教與學(xué)的和諧統(tǒng)一中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的合理整合。

四、教學(xué)目標(biāo)

通過具體實(shí)例理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法，從中體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用；能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生能夠初步了解逼近思想；體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一；通過具體實(shí)例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過程。

五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)。

2.教學(xué)難點(diǎn)：方程近似解所在初始區(qū)間的確定，恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解。

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1 在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？

如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子，10km長(zhǎng)的線路大約有200多根電線桿子呢。

想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？

以實(shí)際問題為背景，以學(xué)生感覺較簡(jiǎn)單的問題入手，激活學(xué)生的思維，形成學(xué)生再創(chuàng)造的欲望。注意學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的問題，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考，從二分查找的角度解決問題。

[學(xué)情預(yù)設(shè)] 學(xué)生獨(dú)立思考，可能出現(xiàn)以下解決方法：

思路1 直接一個(gè)個(gè)電線桿去尋找。

思路2 通過先找中點(diǎn)，縮小范圍，再找剩下來一半的中點(diǎn)。

[學(xué)情展示] 多數(shù)學(xué)生認(rèn)同思路1的觀點(diǎn)，但覺得不夠合理，又不知如何處理。

[調(diào)整教學(xué)] 跟學(xué)生講明思路1的不可操作性，引導(dǎo)學(xué)生從思路2入手，引導(dǎo)學(xué)生解決問題：

如圖，維修工人首先從中點(diǎn)C。查用隨身帶的話機(jī)向兩個(gè)端點(diǎn)測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點(diǎn)D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點(diǎn)E來查。每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能把故障點(diǎn)鎖定在一兩根電線桿附近。

[動(dòng)態(tài)展示] 用一個(gè)動(dòng)態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件）。

在一條線段上找某個(gè)特定點(diǎn)，可以通過取中點(diǎn)的方法逐步縮小特定點(diǎn)所在的范圍（即二分法思想）。

[設(shè)計(jì)意圖] 從實(shí)際問題入手，利用計(jì)算機(jī)演示用二分法思想查找故障發(fā)生點(diǎn)，通過演示讓學(xué)生初步體會(huì)二分法的算法思想與方法，說明二分法原理源于現(xiàn)實(shí)生活，并在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛應(yīng)用。

（二）師生探究，構(gòu)建新知

問題2 假設(shè)電話線故障點(diǎn)大概在函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)位置，請(qǐng)同學(xué)們先猜想它的零點(diǎn)大概是什么？我們?nèi)绾握页鲞@個(gè)零點(diǎn)？

[學(xué)情展示] 部分學(xué)生試圖用描點(diǎn)法畫出函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的圖象；另一部分學(xué)生通過做出函數(shù)f（x）=lnx與函數(shù)f（x）=6-2x的交點(diǎn)，來找出零點(diǎn)，不夠精確。

[調(diào)整教學(xué)] 利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，通過具體的函數(shù)圖象幫助學(xué)生理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是異號(hào)的，那么函數(shù)圖象就一定與x軸相交，即方程f（x）=0在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解（即上節(jié)課的函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，為下面的學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)）。引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍。

我們已經(jīng)知道，函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，且f（2）<0，f（3）>0。進(jìn)一步的問題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)？

合作探究：學(xué)生先按四人小組探究。（倡導(dǎo)學(xué)生積極交流、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性）

生：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值。

師：如何有效縮小根所在的區(qū)間？

生1：通過“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍。

生2：是否也可以通過“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍？

師：很好，“取中點(diǎn)”和“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”都能實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在的范圍。但是在同樣可以實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在范圍的前提下，“取中點(diǎn)”的方法比取“三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”的方法更簡(jiǎn)便。

引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)的方法x=a+b2。

合作探究：（學(xué)生2人一組互相配合，一人按計(jì)算器，一人記錄過程。四人小組中的兩組比較縮小零點(diǎn)所在范圍的結(jié)果。）

步驟略。

[設(shè)計(jì)意圖] 從問題1到問題2，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法，問題2有著承上啟下的作用，使學(xué)生更深刻地理解二分法的思想，同時(shí)也突出了二分法的特點(diǎn)。通過問題2讓學(xué)生掌握常見函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍。

問題3 判斷是否達(dá)到精確度ε：

即若|a-b|<ε，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a（或b）；否則重復(fù)步驟2-4。

[學(xué)情預(yù)設(shè)] 學(xué)生思考問題3舉出二次函數(shù)外，對(duì)照步驟觀察函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的圖象去體會(huì)二分法的思想。結(jié)合二次函數(shù)圖象和標(biāo)有a、b、x0的數(shù)軸理解二分法的算法思想與計(jì)算原理。

[教學(xué)效果] 以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點(diǎn)、解決重點(diǎn)，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)，有利與學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，并強(qiáng)化對(duì)二分法原理的理解。

（三）例題剖析，鞏固新知

例 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度0.1）。

兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師點(diǎn)評(píng)。

思考：

問題（1）用二分法只能求函數(shù)零點(diǎn)的“近似值”嗎？

問題（2）是否所有的零點(diǎn)都可以用二分法來求其近似值？

教師有針對(duì)性地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回答，學(xué)生討論，交流。反思二分法的特點(diǎn)，進(jìn)一步明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點(diǎn)，指出它只是求函數(shù)零點(diǎn)近似值的“一種”方法。

[設(shè)計(jì)意圖] 及時(shí)鞏固二分法的解題步驟，讓學(xué)生體會(huì)二分法是求方程近似解的有效方法。解題過程中也起到了溫故轉(zhuǎn)化思想的作用。

（四）嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果

（五）課堂小結(jié)，回顧反思

1.理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點(diǎn)近似值，但要保證該函數(shù)在零點(diǎn)所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷；

2.用二分法求方程的近似解的步驟。

七、教學(xué)反思

這節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課。整個(gè)教學(xué)過程，以問題為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，設(shè)計(jì)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激勵(lì)學(xué)生去取得成功，順應(yīng)合理的邏輯結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)，重視思維訓(xùn)練，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，注意數(shù)學(xué)思想方法的溶入滲透，滿足學(xué)生渴望的獎(jiǎng)勵(lì)結(jié)構(gòu)。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，特別注重以下幾個(gè)方面：

（1）重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，突出他們的主體地位。

（2）注重將用二分法求方程的近似解的方法與現(xiàn)實(shí)生活中案例聯(lián)系起來，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)方法來源于現(xiàn)實(shí)生活，又可以解決生活中的問題。

（3）注重學(xué)生參與知識(shí)的形成過程，動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦相結(jié)合，使他們“聽”有所思，“學(xué)”有所獲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

（4）注重師生之間、同學(xué)之間互動(dòng)，注重他們之間的相互協(xié)作，共同提高。

我們應(yīng)努力去發(fā)現(xiàn)問題并利用問題為學(xué)生精心設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)和解決問題的再創(chuàng)造過程，倡導(dǎo)積極主動(dòng)勇于探索的學(xué)習(xí)方式，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

總之，教學(xué)過程中提出問題、分析問題、解決問題的過程，是師生共同建構(gòu)學(xué)習(xí)主體的過程，是學(xué)生通過創(chuàng)造性的解決問題，獲得知識(shí)和發(fā)展能力的過程，這就需要我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)及學(xué)生實(shí)際情況和可接受的水平創(chuàng)設(shè)良好的探究情境，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究。