一道古典概型題的啟示

一道題目兩種解答結(jié)果，而且似乎都很合理，但答案并不唯一，究竟問題出現(xiàn)在哪？

一、分析與討論

這是一道古典概型題，筆者認(rèn)為可從下面幾個方面來分析討論.首先從定義上分析，新教材中對古典概型定義的描述具有兩個特點：（1）試驗中所有能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.因此，古典概型首先要弄清樣本空間，它必要滿足這兩個特點.這道題第一個特點顯然滿足，問題就出現(xiàn)在第二個特點上.解法一認(rèn)為樣本空間只有3種基本事件，但這3種是等可能的嗎？比如（1，2，3）這種情況，雖然3段長度就是1，2，3一種，可截成這3段長度卻有6種可能；而截成（2，2，2）這種情況只有一種可能，顯然認(rèn)為基本事件是3種就不滿足可能性相等這個特點.而解法二就把截成3段的各種情況都列舉出來，所以樣本空間有10種基本事件是滿足等可能性這個特點，因此答案只能是P=110.其次從排列組合的角度分析，若此題用排列組合方法來解答，就不難理解了：鐵絲長為6，就相當(dāng)于一條6個單位長度的線段，除兩個端點外中間有5個點，要截成3段，就要選取其中2個點為截斷點，共有C25.解題產(chǎn)生的錯誤原因就是表面上看是對樣本空間的錯誤認(rèn)識，但產(chǎn)生這種錯誤認(rèn)識的深層原因是混淆了有序與無序的區(qū)別，即這道題的基本事件要講順序，如（1，2，3）與（1，3，2）是不同的基本事件，而非一樣.再深究其錯誤的本質(zhì)原因是沒有理解透古典概型的定義，尤其是定義的第二個特點.

二、教學(xué)啟示

1.課堂上要充分利用好教材

在概率教學(xué)中常發(fā)現(xiàn)學(xué)生具有較多的錯誤觀念.因為學(xué)生過去接觸的主要是確定性事件，而對不確定事件的認(rèn)識非常有限，學(xué)生的頭腦中有關(guān)概率事件的認(rèn)識大都來自個體的一些直覺的、不成熟的經(jīng)驗，使學(xué)生很難用已獲得的解決確定性數(shù)學(xué)問題的思維方式去求不確定性的概率問題.所以在概率教學(xué)中，要精選案例，恰當(dāng)?shù)剡\用，如對比辨析、反例糾錯、錯誤嘗試、合作交流等教學(xué)方法和策略.

實際上，關(guān)于辨析概念的問題，教材也給出了一個案例：同時擲兩個骰子，計算向上點數(shù)之和是5的概率是多少？

教材上的解答就是把兩個骰子標(biāo)上記號1和2以便區(qū)分，從而得出共有36種結(jié)果，而點數(shù)和為5的有4種結(jié)果，于是得P=436=19.隨后還安排了一個思考題：為什么要標(biāo)上記號？如果不標(biāo)上會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？接著還給予解釋，讓學(xué)生徹底區(qū)分有序與無序的解題結(jié)果，從而加深了對定義的第二個特點的認(rèn)識.

2.課堂上要重視概念教學(xué)，適當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)活動

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在概念教學(xué)中怎樣才能讓學(xué)生深刻理解和掌握概念的內(nèi)容，以致能正確地運用，是概念教學(xué)的最終目的.因此一節(jié)概念課一定要認(rèn)真設(shè)計，講明講透，不能簡單地用“一定義、二要點、三注意”的形式講完就好了，然后就講例題或做練習(xí)，這是典型的“重結(jié)果輕過程”.而就古典概型而言，筆者認(rèn)為在課堂上要適當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)活動.教材中關(guān)于古典概型的教學(xué)內(nèi)容是這樣安排的：給出試驗，分析實驗結(jié)果.再給引例加深擴大對實驗結(jié)果的認(rèn)識，最后給出定義.這樣的安排順序，目的就是遵循學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，即由感性認(rèn)識逐漸上升到理性認(rèn)識的認(rèn)識規(guī)律.因此教師在教學(xué)時要精心設(shè)計教學(xué)過程，通過充分引導(dǎo)學(xué)生感悟和有效思考實驗及引例內(nèi)容，來達(dá)到對其內(nèi)涵的本質(zhì)認(rèn)識，然后再讓學(xué)生互相交流討論，找出共性，最后歸納定義.通過這樣的數(shù)學(xué)活動，就可讓學(xué)生建立正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到對定義內(nèi)容的深刻理解.如果沒有給學(xué)生充分的思考時間，只靠教師的分析講解來代替學(xué)生的思考和感悟，會造成教師反復(fù)強調(diào)學(xué)生仍然印象不深的狀況.一句話：教師要充分地利用好教材教，而不是簡單地教教材.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)（思維活動）活動的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識的教學(xué).”所以只有當(dāng)學(xué)生自覺參與數(shù)學(xué)活動，并且在活動中不斷經(jīng)歷正確與錯誤的交替體驗，形成正反兩方面的活動經(jīng)驗，這樣才能提高學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的水平

3.對錯誤答案的認(rèn)識

俗話說“失敗是成功之母”，對數(shù)學(xué)而言亦是如此.歷史上數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論和結(jié)果都是在糾正錯誤的結(jié)果中得到的.就古典概型而言，數(shù)學(xué)史上就有許多數(shù)學(xué)家犯了將有序視作無序的錯誤.在概率論誕生之前，有一個流行于14世紀(jì)意大利的古代機會游戲：一個人擲3個骰子，另一個人猜點數(shù)和（史稱“投擲問題”）.當(dāng)時的數(shù)學(xué)家由于沒有意識到順序，他們認(rèn)為9，10，11，12都有6種組合（如10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4）.但在玩這個機會游戲的過程中，得到10和11的次數(shù)總要超過9和12，到底是何種原因使理論計算與實驗不相符合呢？這個令數(shù)學(xué)家困惑的疑團(tuán)經(jīng)歷了3個世紀(jì)以后才由伽利略發(fā)現(xiàn)了原因：指出了有序與無序之別，從而得到點數(shù)和為10和11的情形各有27種，而9和12的情形各有25種，這樣才能使計算與實驗相吻合.另外教材中例3關(guān)于擲骰子的問題，實際上就是由數(shù)學(xué)史上概率論誕生前的“投擲問題”改編而成.當(dāng)時的數(shù)學(xué)家也是通過玩游戲進(jìn)行實驗才出現(xiàn)了困惑，這也說明做實驗是發(fā)現(xiàn)錯誤認(rèn)識的很好途徑.

因此教師在教學(xué)上要結(jié)合教材的實際，讓學(xué)生多做實驗，多交流，多體驗，這樣就能讓學(xué)生有更多的機會暴露他們學(xué)習(xí)中的問題.而教師則通過不斷地解決學(xué)生的問題來厘清教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)內(nèi)涵，達(dá)到提高學(xué)生的認(rèn)識能力和理解能力的教學(xué)目的.對新教材中列舉的如拋硬幣、擲骰子等例子，教師在教學(xué)時要充分利用，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多媒體的模擬演練或?qū)嶋H操作試驗，讓學(xué)生加深直觀感受，從而達(dá)到僅用口頭說教也難以改變學(xué)生錯誤的目的，因為學(xué)生只有經(jīng)歷失誤的過程，才能很好地形成和建立正確的新的知識結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)

[1]沈金興.概率論前史中“投擲問題”的歷史相似性研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（5）.

[2]楊濤.概率教學(xué)中的“錯誤觀念”轉(zhuǎn)變的實踐研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（8）.

（責(zé)任編輯金鈴）