豎直光滑軌道中的小球

圖1問題：如圖1所示，一豎直光滑軌道，小球在最低點以初速度v0運動，它能否做完整的圓周運動。若不能，何時離開軌道，離開后又做什么運動呢？

為了解決這個問題，我們把圓軌分成兩個部分ABC和ADC。

若小球在ABC軌道上任意一位置，對小球作受力分析，如圖2所示，

小球做圓周運動的向心力為：

圖2FN-mgcosθ=mv2R

FN與v是什么關系呢？根據(jù)向心力方程可知，隨著速度的減小，支持力也在減小，當速度減小為零時，支持力減為mgcosθ，所以在ABC段（除AC兩點外）支持力不可能為零，而小球要離開軌道的臨界條件是支持力為零，即小球在ABC段運動時，不會離開軌道，小球在ABC段任一個位置的速度都可以為零。

設小球剛好運動到C時速度為零，從B點運動到C點的過程中，機械能守恒，得：

12mv21=mgR

v1=2gR

所以當小球在B點的速度v1≤2gR時，小球是不會離開軌道的，而是在以OB為對稱軸的圓弧上來回擺動。

圖3小球在ADC上任一點位置時，對小球進行受力分析，如圖3所示，

小球做圓周運動的向心力為

FN+mgcosθ=mv2R

這種情況下，F(xiàn)N與v是什么關系呢？根據(jù)向心力方程，速度減小時，支持力也在減小，與在ABC段不同，在ADC時，當速度減小到某個值時，支持力先減小到零。

即FN=0時

v=gRcosθ

也就是說，在ADC段小球的速度應有最小值，小球的速度v=gRcosθ時，它與圓周軌道虛接觸，下一刻就將離開軌道，有斜向上的速度，在重力作用下，小球就會離開軌道做斜拋運動。

怎么樣才能讓小球不離開ADC圓弧呢？即在最高點時（即θ=90°）還未離開即可。

在圓弧的最高點時

FN+mg=mv2R

FN=0時，vmin=gR

從B到D小球的機械能守恒，得：

12mv22=2mgR+12mvmin2

v2=5gR

當小球在B點的速度v2≥5gR時，小球就做完整的圓周運動。

綜上所述，小球在豎直光滑軌道內的運動有三種情況。

當在最低點的速度v0≤2gR時，小球會在下半弧來回擺動；

當在最低點的速度2gR≤v0≤5gR時，小球會在上半弧離開圓周軌道做斜拋運動；

當在最低點的速度v0≥5gR時，小球會做完整的圓周運動。

（責任編輯易志毅）