空間平面向量方向判定的兩種方法

二面角的平面角是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是熱點(diǎn)內(nèi)容，怎樣利用平面的法向量求二面角的平面角呢？我們知道二面角的大小與法向量的夾角的關(guān)系“同內(nèi)同外是互補(bǔ)，一內(nèi)一外是相等”，關(guān)鍵是判定兩個(gè)平面的法向量相對(duì)于二面角的面的方向，當(dāng)平面與空間坐標(biāo)系中的三個(gè)平面平行或重合時(shí)，平面的法向量很容易判定.下面介紹除此之外的平面的法向量的方向的兩種判定方法.

方法1：坐標(biāo)法.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，坐標(biāo)平面把空間分為八個(gè)卦限，在每個(gè)卦限內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是不變的，可以利用始點(diǎn)在原點(diǎn)的向量和空間內(nèi)的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，判定平面的法向量相對(duì)于某個(gè)平面的方向.

方法2：參照向量法.二面角法向量方向的判定可以取一個(gè)向量作為參照向量.如圖1.設(shè)平面α的法向量為n，在二面角α-l-β內(nèi)的一個(gè)參照向量為n0，當(dāng)n·n0>0時(shí)，顯然n與n0的夾角為銳角，我們稱法向量的方向指向二面角的內(nèi)部；如圖2，當(dāng)n·n0<0時(shí)，顯然n與n0的夾角為鈍角，我們稱法向量的方向指向二面角的外部.（一般情況下，參照向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別取在兩個(gè)半平面內(nèi)，判定哪個(gè)平面的法向量的方向，參照向量的始點(diǎn)取在哪個(gè)平面）

圖1圖2

【例】（2005，全國(guó)）如圖3，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

圖3（1）證明：AB⊥平面VAD，

（2）求平面VAD與平面VBD所成的二面角的大小.

方法1：如圖3所示，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A（1，0，0），B（1，1，0），V（12，0，32），D（0，0，0），

則AB=（0，1，0），DB=（1，1，0），DV=（12，0，32）.

設(shè)平面VBD的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），

則n·DB=0，n·DV=0，

即x+y=0，12x+32z=0.

令z=1，解得x=-3，y=3，

所以n=（-3，3，1）.

因?yàn)辄c(diǎn)（-3，3，1）在第二卦限，所以n穿過(guò)平面VDB指向二面角的外部，

又因?yàn)锳B是平面VAD的法向量，指向二面角的內(nèi)部，所以AB與n所成的角為二面角的平面角，

所以cos〈AB·n〉=ABn|AB|·|n|=31·7=217.

方法2：由方法（1）知，平面VDB的一個(gè)法向量為n=（-3，3，1），

取參照向量為BA（向量的始點(diǎn)在平面VDB內(nèi)），

因?yàn)锽A=（0，-1，0），

又因?yàn)锽A·n=0-3+0=-3<0.

所以n的方向指向二面角A-VD-B的平面VDB的外部.

（責(zé)任編輯金鈴）