例談應用均值不等式求最值的解法

最值問題是中學數學的重要內容之一，它分布在各個知識板塊.學生在學到“均值不等式的應用”時，常感覺到“均值不等式a+b2≥ab（a>0，b>0，當且僅當a=b時等號成立）”這一知識極易理解，但在解題過程中卻往往不知道如何運用.在教學中，我整理了均值不等式求最值的解法，以解除學生的學習困惑.

一、負化正

在運用均值不等式的時候首先要注意a>0，b>0的條件（即一正）.如下題型，當正數條件不滿足時，可以將負數化為正數，產生滿足要求的條件.

【例1】求f（x）=4x+9x（x<0）的最大值.

解：∵x<0，∴-x>0∴f（x）=-4（-x）+（-9-x）=-[（-4x）+（-9x）]

∵（-4x）+（-9x）≥12，∴f（x）≤-12

當且僅當4（-x）=-9x，即x=-32時，f（x）等號成立，取最大值為-12.

二、構造法

1.配系數

【例2】當0

解：y=x（8-2x）=12×2x（8-2x）≤12×[2x+（8-2x）2]2=8.當且僅當2x=8-2x且0

2.添加項

【例3】求f（a）=4a-3+a（a>3）的最小值.

解：∵a>3，∴a-3>0，∴f（a）=4a-3+（a-3）+3≥24a-3×（a-3）+3=7.當且僅當4a-3=a-3且a>3，即a=5時，等號成立.f（a）有最小值為7.

3.拆分項

【例4】求f（x）=x2+2x2+1的最小值.

解：f（x）=x2+2x2+1=x2+1+1x2+1=x2+1+1x2+1≥2.當且僅當x2+1=1x2+1，即x=0時，等號成立.f（x）取最小值為2.

三、給條件的最值問題的解法

上面的方法針對的是給式子直接求取最值的題型，還有一類題型是給條件的最值問題，此類題型的解法頗多，在此我們主要運用均值不等式法，歸納為以下幾類.

1.條件式子與所求式子相乘

【例5】已知正數x、y滿足8x+1y=1，求x+2y的最小值.

解：x+2y=（8x+1y）（x+2y）=10+xy+16yx≥10+2xy·16yx=18，

當且僅當8x+1y=1

xy=16yx，即x=12，y=3時等號成立，故此函數最小值是18.

2.條件式子直接生成所求式子

【例6】若x>0，y>0，且2x+8y=1，則xy有最值為.

解析：1=2x+8y≥216xy16xy≤12xy≥64，

當且僅當2x=8y且2x+8y=1，即x=4，y=16時，等號成立.所以xy有最小值為64.

3.重新構造條件式子

【例7】如x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，則x+y的最小值為.

分析：2x+8y-xy=016=（x-8）（y-2）≤[（x-8）+（y-2）2]2

16≤（x+y-102）264≤（x+y-10）2x+y≥18

當且僅當x-8=y-2，

2x+8y-xy=0，

x>0，y>0即x=12，y=6時，等號成立.

所以x+y有最小值為18.

總之，用均值不等式求最值的方法是可以掌握的，但是應用時要牢記：“一正”：各項或各因式必須為正數；“二定”：必須滿足“和為定值”或“積為定值”；“三等”：要保證在所給條件下等號能成立，若等號不成立，求出的也不是最值.

（責任編輯黃春香）