含參量函數恒成立問題解法例析

縱觀近幾年的新課標全國卷，幾乎都是以函數問題作為最后的壓軸題，而函數問題的解決最終歸結為對函數性質、函數思想的理解和應用.函數中的恒成立問題往往是融合了函數、導數、不等式等，考查學生解決綜合問題的能力.我們在這里對兩種常見的含參量的恒成立問題的解決方法進行簡單總結.

一、分離參量法

【例1】已知函數f（x）=xlnx，對于任意正實數x，不等式f（x）>kx-12恒成立，求實數k的取值范圍.

解析：由于x>0，

所以f（x）=xlnx>kx-12，

∴k

令k（x）=lnx+12x，

則令k′（x）=1x-12x2=2x-12x2=0，

得x=12.

當x∈（0，12）時，k′（x）<0；

當x∈（12，+∞）時，k′（x）>0.

則x=12時取得最小值，

k（x）min=k（12）=ln12+1=1-ln2.

∴k的取值范圍是（-∞，1-ln2）.

點評：對于恒成立的不等式中，如果求的參量很容易分離出來，不等號的另一側構造x的函數，對于x取值范圍內任意一個數都有a≥f（x）恒成立，則a≥f（x）max，若a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）min.這種方法是學生最常用的方法，但其缺點是往往需要進行多次求導，構造函數，當遇到不等式中含有對數等符號時會比較困難.

二、參數討論法

【例2】已知函數f（x）=ax+bx+c（a>0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.若f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立，求a的取值范圍.

解析：∵f（1）=1-1=0，

∴a+b+c=0，

又f′（1）=a-b=1，

∴b=a-1，

c=1-2a.

令g（x）=f（x）-lnx=ax+a-1ax+1-2a-lnx.

∵x∈（0，1]，

∴g（1）=0，

g′（x）=a-a-1x2-1x=ax2（x-1）（x-1-aa）.

當0

∴g（x）在（0，1]上單調遞增，

∴g（x）≤g（1）=0，

此時f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立.

當a>12時，則有1a-1<1，

記a1=max{1a-1，0}，對任意x∈（a1，1）都有g′（x）<0，∴g（x）在（a1，1）上單調遞減，

∴當x∈（a1，1）時，有g（x）>g（1）=0，

此時f（x）≤lnx在（0，1]上非恒成立.

綜上，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立時，a的范圍為（0，12].

點評：將恒成立的不等式轉化為f（x）≥0或f（x）≤0形式，即f（x）min≥0或f（x）max≤0，通過對參量的討論，尋找函數的單調性，繼而求得函數的最值.對于分類討論的問題，要求學生能準確找到參量討論的分界點，在可取范圍內的討論做到不重不漏.

恒成立求參量的問題無論采取何種方法，本質上都是利用函數的單調性求函數的最值，這也是函數問題的重點和難點，需要學生通過分析抓住式子的特征，靈活變形，以最合適的方法解決問題.

（責任編輯金鈴）