淺談平面向量基本定理及其應用

向量是數學研究的一種重要工具，尤其是解決幾何問題，常有獨到之處.下面我們來看看平面向量基本定理在幾何中的應用.

一、平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底（base）.

二、平面向量基本定理的推論

圖1如圖1，已知P1、P、P2三點共線，O是空間任一點，則存在實數x，y，使OP=xOP1+yOP2，且x+y=1.

三、三點共線

圖2【例1】如圖2，三個向量a、b、c有公共起點，且滿足c=λa+μb，λ、μ∈R，求證：三個向量的終點共線的充要條件是λ+μ=1.

分析：設向量a、b、c的公共起點是O，終點分別是A、B、C，則AC=c-a，AB=b-a.

必要性：如果A、B、C三點共線，則存在一個實數m，使AC=mAB，即c-a=m（b-a），即c=（1-m）a+mb.令λ=1-m，μ=m，則c=λa+μb，所以三個向量的終點共線的必要條件是λ+μ=1.

充分性：如果λ+μ=1，則λ=1-μ，代入c=λa+μb，得c=（1-μ）a+μb=a+μ（b-a）=a+μAB，即c-a=μAB，AC=μAB，得AC與AB共線，所以三個向量的終點共線的充分條件是λ+μ=1.

綜上所述，三個向量的終點共線的充要條件是λ+μ=1.

注：（1）題中的c=λa+μb是大前提，在證充分性與必要性時都可以應用它；（2）當點c為線段AB的中點時，則有c=a+b2.

【例2】如圖3，設點O是△ABC的外接圓的圓心，AO=xAB+yAC且|AB|=c，|AC|=b，y=kx-k2，求AB·AC的值.

圖4分析：由y=kx-k2，AO=xAB+（kx-k2）AC，AO+k2AC=x（AB+kAC）.設AE=-k2AC，AF=-kAC，上式等價于AO-AE=x（AB-AF），即EO=xFB，EO∥FB，如圖4.延長AO交圓于點D.現AEAF=-k2÷（-k）=12，得AEAF=AOAD，EO∥FD，所以FB∥FD，這說明F、D、B三點共線，而直徑所對的圓周角是直角，∠ABD=90°.在Rt△ABF中，∠BAC=∠BAF，cos∠BAC=ABAF=c-kb.在△ABC中，由向量數量積的定義，得AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=c·b·c-kb=c2-k.

（責任編輯黃春香）