三角函數(shù)題的錯(cuò)解剖析

易錯(cuò)環(huán)節(jié)一：對(duì)角的概念認(rèn)識(shí)不深刻，考慮不全導(dǎo)致出錯(cuò)

角的概念推廣到任意角后，已知一個(gè)角的終邊所在的象限，確定與其相關(guān)的角的終邊所在的象限問(wèn)題及相關(guān)角之間的關(guān)系成為一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

【例1】已知角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α與β的關(guān)系為.

錯(cuò)解：由角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則有α+β2=π2+2kπ（k∈Z）.

錯(cuò)因分析：本題考查的是具有對(duì)稱關(guān)系的角的表示，由于對(duì)角習(xí)慣性的認(rèn)識(shí)，學(xué)生往往只考慮到x軸上半部分的情形，即關(guān)于y軸正半軸對(duì)稱的情形，忽視了關(guān)于y軸負(fù)半軸對(duì)稱的情形.

正解：由角α，β的終邊關(guān)于軸對(duì)稱可得α+β2=π2+kπ（k∈Z），即α+β=2kπ+π（k∈Z）.

點(diǎn)評(píng)：利用位置關(guān)系確定角的集合，必須明確角的終邊的圖象關(guān)系，考慮全面才能防止出錯(cuò).

易錯(cuò)環(huán)節(jié)二：利用平方關(guān)系求值時(shí)忽視范圍問(wèn)題而出錯(cuò)

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是基本公式之一，在運(yùn)用這些公式進(jìn)行恒等變形時(shí)，首先應(yīng)分析等式兩邊的三角式的取值范圍.

【例2】已知sinθ+cosθ=15，θ∈（0，π），則cotθ=.

錯(cuò)解：兩邊同時(shí)平方，由sinθ·cosθ=-1225與sinθ+cosθ=15得（sinθ-cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ-4sinθcosθ=（sinθ+cosθ）2-4sinθcosθ=4925，

∴sinθ-cosθ=±75.∴sinθ=45，cosθ=-35，進(jìn)而可求得cotθ=-34.

或sinθ=-35，cosθ=45，進(jìn)而可求得cotθ=-43.

錯(cuò)因分析：沒(méi)有注意到當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，由于sinθ·cosθ<0，所以sinθ-cosθ的值因?yàn)檎鴮?dǎo)致錯(cuò)誤.

正解：sinθ+cosθ=15，θ∈（0，π），兩邊同時(shí)平方，有sinθ·cosθ=-1225<0與sinθ+cosθ=15，求出sinθ=45，cosθ=-35，進(jìn)而可求得cotθ=-34.

點(diǎn)評(píng)：已知角的某一三角函數(shù)值或關(guān)系式的值，求角α的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意公式的合理選擇.若角α的終邊所在象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一種結(jié)果；若角α所在象限不確定，應(yīng)注意根據(jù)關(guān)系式特點(diǎn)進(jìn)行討論.

易錯(cuò)環(huán)節(jié)三：忽視三角函數(shù)的有界性，造成錯(cuò)解

【例3】若22sin2α+sin2β-2sinα=0，則cos2α+cos2β的取值范圍是（）.

A.[1，5]B.[1，2]C.[1，94]D.[1，+∞）

解：由條件得sin2β=2sinα-2sin2α，則

cos2α+cos2β=2-sin2α-sin2β=2-sin2α-（2sinα-2sin2α）=sin2α-2sinα+2=（sinα-1）2+1.

錯(cuò)解一：由（sinα-1）2+1≥1，從而選D.

錯(cuò)解二：∵-1≤sinα≤1，∴1≤（sinα-1）2+1≤5，從而選A.

剖析：錯(cuò)解一忽視了正弦函數(shù)的有界性；錯(cuò)解二雖然考慮了正弦函數(shù)的有界性，但沒(méi)注意到sin2β=2sinα-2sin2α還隱含sinα取值范圍的條件.由sin2β=2sinα-2sin2α≥0，可得0≤sinα≤1，從而應(yīng)選B.

易錯(cuò)環(huán)節(jié)四：忽視復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，造成錯(cuò)解

【例4】求函數(shù)y=2sin（π4-2x）的遞增區(qū)間.

錯(cuò)解：令u=π4-2x，則y=2sinu在[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）上是增函數(shù)，即2kπ-π2≤π4-2x≤2kπ+π2（k∈Z），解得kπ-π8≤x≤kπ+3π8（k∈Z）.于是函數(shù)y=2sin（π4-2x）在區(qū)間[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z）上是增函數(shù).

錯(cuò)因分析：忽視復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由于u=π4-2x是減函數(shù)，而y=2sinu在[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）上是增函數(shù)，所以y=2sin（π4-2x）在區(qū)間[kπ-π8，kπ+3π8]（k∈Z）上是減函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：求y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)首先把x的系數(shù)化為正的，在利用整體代換，即把|ω|x+φ代入相應(yīng)的不等式，求解相應(yīng)的變量x的取值范圍.

綜上，解題時(shí)要正確把握基本概念、基本公式的適用條件，研究性質(zhì)問(wèn)題時(shí)要注意思路全面才是防止出錯(cuò)之根本.

（責(zé)任編輯金鈴）