指數(shù)函數(shù)題目易錯(cuò)點(diǎn)剖析

指數(shù)函數(shù)及相關(guān)性質(zhì)的考查是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在解題過程中，由于對(duì)基本概念、基本性質(zhì)的掌握不夠準(zhǔn)確，學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯一些這樣或那樣的錯(cuò)誤.現(xiàn)就學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的常見錯(cuò)誤進(jìn)行剖析、總結(jié)，希望能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念理解不到位而致錯(cuò)

【例1】下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是（）.

A.y=xa（a>0且a≠1）

B.y=（a2+2|a|+2）-x

C.y=2ax

D.y=（a+b）-x

錯(cuò)解：A、C、D.

剖析：選項(xiàng)A錯(cuò)在x應(yīng)為指數(shù)而不是底數(shù)；選項(xiàng)C錯(cuò)在忽視了指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)為y=ax，前面系數(shù)為1；選項(xiàng)D中忽略了底數(shù)的范圍，按定義必須a>0且a≠1.只有選項(xiàng)B才是正確的，因?yàn)閍2+2|a|+2=（|a|+1）2+1≥2滿足底數(shù)的取值范圍.

正解：選B.

二、忽略了指數(shù)函數(shù)的有界性而致錯(cuò)

【例2】求函數(shù)y=（19）x+（13）x+1的值域.

錯(cuò)解：令t=（13）x，則

y=t2+t+1=（t+12）2+34≥34.

故ymin=34.

所以函數(shù)的值域?yàn)閇34，+∞）.

剖析：在換元t=（13）x時(shí)，要利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定y的范圍，若忽略了這一點(diǎn)，即t=（13）x>0必然導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正確：令t=（13）x，

則y=t2+t+1=（t+12）2+34.

又因?yàn)閠>0，

y=（t+12）2+34在（0，+∞）為增函數(shù)，

所以y>1，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）.

三、忽略指數(shù)函數(shù)底數(shù)的范圍而致錯(cuò)

【例3】求函數(shù)y=a-x2-4x+2（a>0且a≠1）的單調(diào)遞增區(qū)間.

錯(cuò)解：令t=-x2-4x+2=-（x+2）2+6，

設(shè)任意x1

則-x21-4x1+2<-x22-4x2+2.

所以a-x21-4x1+2

即f（x1）

故y=a-x2-4x+2（a>0且a≠1）在（-∞，-2]上為增函數(shù).

剖析：對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，必須分底數(shù)大于1和底數(shù)大于0且小于1兩種情況來討論.

正解：令t=-x2-4x+2=-（x+2）2+6.

設(shè)任意x1

則-x2-4x1+2<-x2-4x2+2.

當(dāng)a>1時(shí)，a-x21-4x1+2

即f（x1）

故y=a-x2-4x+2（a>0且a≠1）在（-∞，-2]上為增函數(shù).

當(dāng)0

四、理解指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)不到位而致錯(cuò)

【例4】函數(shù)y=ax+2+3（a>0且a≠1）恒過一個(gè)定點(diǎn).

錯(cuò)解：（0，1）.

剖析：將函數(shù)y=ax的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位就得到y(tǒng)=ax+2+3（a>0且a≠1）的圖象.

正解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax恒過定點(diǎn)（0，1），所以y=ax+2+3（a>0且a≠1）必恒過定點(diǎn)（-2，4）.

（責(zé)任編輯金鈴）