一道課本習題的變式和引申

縱觀近幾年來的高考數學試題，源于課本的題型占據了一定的分量.因此對于數學課本上具有代表性和典型性的習題，教師應挖掘題目的廣度和深度，擴大題目的輻射面，這對提高學生的解題能力，發展學生的創新思維能力具有重要的意義.

【例】（北師大版高中《數學》（必修5），復習題一，第38頁第7題）觀察下列的數陣

問第20行最左邊的數是幾？第20行所有數的和是多少？

解析：本題屬于尋找規律、數列求項和求和題，由數陣可以發現第20行最右邊的數是an=202=400.

第20行的數成等差數列，d=1，n=20×2-1=39，有400=a1+（39-1）×1，

解得a1=362，S39=na1+n（n+1）d2=14859.

【變式1】等腰三角形數表問題

將全體正整數排成一個三角形數表：

按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第2個數為.

解析：通過列舉、歸納、猜想，前n-1行共有1+2+3+…+（n-1）個數，即共有n2-n2個，因此第n行第2個數是全體正整數中第n2-n2+2個數，即n2-n2+2.也可以觀察每行第二個數的特點，歸納出第n+1行的數比第n行的數多n，進而求得結果.

本題屬于數列求通項題，通過此題可復習等差數列有關公式，培養學生歸納、分析的能力.

【變式2】回形數表問題（根據2008江蘇高考零距離突破二輪復習題改編）

將正整數排成如下的螺旋狀：

第一個拐彎處的數是2，第二個拐彎處的數是3，第24個及第29個拐彎處的數分別是，

解析1：由圖可知，前n個拐彎處的數依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，…①

這是一個數列題目，要求找出它的第24項和第29項各是多少，因此要找出這個數列的規律，經觀察，該數列的后一項減去前一項，得一新數列1，2，2，3，3，4，4，5，5，…②

把數列①的第一項添在數列②的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…③

觀察數列①③發現原數列①的第n項an就等于數列③的前n項和，即a1=2，a2=2+1=3，a3=2+1+2+2=7，…，故第24個拐彎處的數a24=2+1+2+2+…+12+12=157，a29=2+1+2+2+…+14+14+15=226.

解析2：設第i個拐彎處的數為ai，顯然a1=2，a2i=a2i-1+i，a2i+1=a2i+（i+1），

∴a24=a23+12=a22+12+12=…=a1+1+2（2+…+12）=157，

a29=a1+1+2（2+…+14）+15=226.

兩種解法由具體到抽象，體現出思維不斷優化的過程.

解決數表問題，需細心研究其元素排列的規律，即構成數列的元素，或數列的項是按照何種規則排列而成的，有時即使找到排列的規則，但如果不能對所發現的規律所蘊含的信息進行整理再加工，解題同樣會誤入歧途.

總之，為了適應新課程的需要，高考命題會出現一些新情況、新定義、新背景的問題.教學中通過設計一題多變的訓練，不僅可以復習知識與方法，而且會使學生的思維活動逐步展開，使學生經歷探索發現新知識的過程，從而培養學生的創新意識和發散思維能力.

（責任編輯金鈴）