關(guān)于一道課本習(xí)題的教學(xué)思考

課本習(xí)題蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵，挖掘、提高課本習(xí)題的教學(xué)價值，是教師應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任，也是完成教學(xué)任務(wù)的必要環(huán)節(jié)，教師應(yīng)高度重視課本習(xí)題的教學(xué).下面就一道課本習(xí)題談?wù)劰P者的教學(xué)思考.

人教版第二十六章《二次函數(shù)》習(xí)題26.3中的綜合運(yùn)用第9題：某賓館有50個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天180元時，房間會全部住滿.當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用.房價定為多少時，賓館利潤最大？

利潤最大化是二次函數(shù)知識在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是分析數(shù)量關(guān)系并建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.對利潤問題的探究有利于學(xué)生鞏固二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣以及用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力.教學(xué)時可設(shè)計兩個環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生解題：構(gòu)造關(guān)于利潤的函數(shù)解析式；利用求函數(shù)最值的方法求利潤的最大值.

一、引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)關(guān)系式

將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式是本題的難點(diǎn)，可設(shè)計以下問題：

1.在此題中，與利潤相關(guān)的量有哪些？（房價、入住房間數(shù)、總支出）意在分析題意，思考各個量之間的關(guān)系.

2.利潤如何用這些量來表示？（利潤=房價×入住房間數(shù)-總支出）意在明確利潤的計算方法.

3.如何用數(shù)學(xué)語言將上述關(guān)系表示出來？重點(diǎn)是關(guān)系式中各個量的表示，難點(diǎn)是對“每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑”這句話的理解.

為了突破這個難點(diǎn)，可設(shè)計一個表格，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各個量之間的關(guān)系.

房價

（元/天）入住的

房間數(shù)收入利潤原價18050180×50180×50-20×50增加10×1元180+10×1增加10×2元180+10×2增加10×3元180+10×3……增加10x元180+10x

學(xué)生分組合作完成表格，不難發(fā)現(xiàn)表格中最后一行的結(jié)論：當(dāng)原價增加10x元時，房價為（180+10x）元/天，入住房間數(shù)為（50-x）間，收入為（180+10x）（50-x），利潤為（180+10x）（50-x）-20（50-x）元.于是得到利潤的函數(shù)關(guān)系式：w=（180+10x）（50-x）-20（50-x）=-10x2+340x+8000.這樣設(shè)計學(xué)生有充足的探究時間，充分體驗(yàn)特殊到一般的類比的數(shù)學(xué)思想.

二、求利潤的最大值

求利潤的最大值就是求函數(shù)的最大值.如何引導(dǎo)學(xué)生求函數(shù)的最大值是教學(xué)時的重點(diǎn).

1.引導(dǎo)學(xué)生分析：要求函數(shù)最值應(yīng)先確定自變量x的取值范圍，這要從考慮含x的式子代表的實(shí)際意義入手分析.房價上漲說明：x≥0，入住的房間數(shù)50-x≥0.所以0≤x≤50，且x為整數(shù).

2.引導(dǎo)學(xué)生回憶求函數(shù)最值的方法：①公式法；②配方法；③作圖法.通過以上準(zhǔn)備，得出此題解答過程.

解：設(shè)房價漲了10x元/天，賓館的利潤為w元/天.

w=（180+10x）（50-x）-20（50-x）=-10x2+340x+8000（0≤x≤50）.

∵a=-10<0，∴w有最大值.

當(dāng)x=-b2a=3402×（-10）=17，

即房價為180+10×17=350（元/天）時，wmax=4ac-b24a=4×（-10）×8000-34024×（-10）=10890.

答：房價定為每天350元時，賓館利潤最大，為10890元.

通過以上學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的方法，但為了發(fā)展學(xué)生的思維，可進(jìn)一步提出新的問題：如果設(shè)房價上漲了x元或設(shè)房價為x元/天，那么又該怎樣解決問題呢？引導(dǎo)學(xué)生通過表格分組探究，得到解法.

1.若設(shè)房價上漲了x元/天，則入住房間數(shù)為50-x/10，w=（180+x）（50-x/10）-20（50-x/10）.

房價上漲（元/天）房價入住的

房間數(shù)收入利潤18050180×50180×50-20×50上漲10元180+10上漲20元180+20上漲30元180+30……上漲x元180+x2.設(shè)房價為x元/天，則入住房間數(shù)為（x-180）/10，w=x[50-（x-180）/10]-20[50-（x-180）/10].房價（元/天）入住的房間數(shù)收入利潤18050180×50180×50-20×50190200210…x通過以上的探究活動，學(xué)生體會到盡管所設(shè)自變量不同，但是殊途同歸，而最先的方法計算量較小.這樣設(shè)計不僅使學(xué)生鞏固了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的方法，理解了設(shè)不同的自變量并不會改變問題實(shí)質(zhì)，還提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，突破了此題難點(diǎn)；而且通過一題多解，優(yōu)化解題方法，培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維習(xí)慣.

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，完成此題后，可再進(jìn)行變式延伸：

某賓館有50個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天180元時，房間會全部住滿.當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于300元.房價定為多少時，賓館利潤最大？

由上題得知房價為350元/天時，賓館利潤有最大值.但這里限定房價300元/天以后，函數(shù)的最大值還一樣嗎？又該如何計算？學(xué)生充分討論，小組發(fā)表不同的意見，最后再結(jié)合圖象講解.

設(shè)房價增加了10x元，函數(shù)的解析式為w=-10x2+340x+8000.

房價不得高于300元，即180+10x≤300，x≤12.

又入住的房間數(shù)為50-x，即x≤50.∴0≤x≤12.

∵a=-10<0，∴當(dāng)x<17時，w隨x的增大而增大.又∵0≤x≤12，∴當(dāng)x=12時，w有最大值，

即房價為180+10×12=300（元/天）時，

w有最大值，wmax=10640.

可以看出，此變式中二次函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)并不落在取值范圍內(nèi)，需要結(jié)合函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值.

綜上所述，課本習(xí)題教學(xué)中，我們可以從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，逐層深入，以符合知識與技能呈螺旋式上升的規(guī)律，力求滲透數(shù)學(xué)類比思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)建模等思想，有效提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

（責(zé)任編輯金鈴）