用現代教育信息技術探究幾何軌跡問題

軌跡問題是平面解析幾何教學的重點與難點，特別是一些定義變式的軌跡問題，比如，平面內到兩定點距離的積（商）等于定長的點的軌跡是什么？對于后者，很難用“粉筆加黑板”等方式解答.而幾何畫板具有強大的動態功能，對于軌跡問題，可以直觀動態呈現其生成的過程.下面運用幾何畫板探究以上兩個問題.

問題1：探究平面內到兩定點距離的積為定長的點P的軌跡.

（1）在x軸上作一點F1，選擇y軸，點擊【變換】|【標記鏡面】，作F1的反射點F2.在平面內作射線OD，在OD上取點M，度量OM的距離.在射線上另取一點R，度量OR的距離，并計算（OM/OR）×1厘米.

（2）以點F1為圓心，OR為半徑作圓⊙C1，再以點F2為圓心，（OM/OR）×1厘米為半徑作圓⊙C2，作兩圓的兩個交點.分別構造兩交點關于點R的軌跡，即可得到點P的軌跡圖形.

（3）構造線段PF1，PF2.并度量PF1，PF2，F1F2的長度.設置文本a2=OM（定長），計算PF1×PF2的值（必為a2），隱藏計算（OM/OR）×1所得數據.在頁面空白處輸入操作說明：①拖動點R，即可觀察點P的變化情況；②拖動點M改變a2的數值；③拖動點F1改變兩定點之間的距離.

（4）拖動點R，可觀察到動點P的軌跡生成及PF1×PF2的值，可制表展示PF1，PF2，PF1×PF2之間的關系；其次，從一般到特殊觀察軌跡的形狀及其變化規律，當兩定點間距離一定時，改變積的值，軌跡呈現三種不同的形狀，該軌跡圖形被稱為卡西尼卵形線.探討發現：拖動點M時，點的軌跡圖形是不斷發生變化的，當積的值足夠大時，圖形呈鏈條形狀，如圖1.當兩定點間距離為2c=2a，動點P與兩定點的距離的乘積為a2時，點P的軌跡是一個曲線交叉的形狀，人們也稱之為伯努利雙紐線，是卡西尼卵形線在a=c時的特例，如圖2.若積的值減小時，軌跡圖形呈眼鏡形狀，如圖3.

圖1（鏈條形狀）

圖2（雙紐線）圖3（眼鏡形狀）

問題2：探究平面內到兩定點距離的商等于定長的點P的軌跡.

（1）在x軸上作一點F1，選擇y軸，點擊【變換】|【標記鏡面】，作點F1的反射點F2.在平面內作射線OD，在OD上取點M，度量OM的距離.在射線上另取一點R，度量OR的距離.計算（OM×OR）÷1厘米.

（2）以點F1為圓心，OR為半徑作圓⊙C1，再以點F2為圓心、（OM×OR）÷1厘米為半徑作圓⊙C2，構造兩圓的兩個交點.分別構造兩個交點關于點R的軌跡，得到點P的軌跡圖形.

（3）構造線段PF1，PF2.并度量PF1，PF2，F1F2的長度.設置文本a2=OM（定長），計算PF2/PF1的值（必為a2），隱藏計算（OM×OR）÷1所得數據.在頁面空白處輸入操作說明：①拖動點R，即可觀察點P的變化情況；②拖動點M改變a2的數值；③拖動點F1改變兩定點之間的距離.

（4）拖動點R可觀察點P的軌跡生成過程，再拖動點M，觀察發現：①當a≠1時，軌跡的圖形是一個圓，該圓也被人們稱之為阿波羅尼斯圓，如圖4；②當a=1時，軌跡圖形是一條直線，該直線為線段F1F2的垂直平分線，如圖5.

圖4（軌跡是一個圓）

圖5（軌跡是一條直線）

（責任編輯金鈴）