在“圓”的王國里闖關

在學習數學的過程中，由基礎概念到應用、由易到難、由低到高的過程中學生會碰到各種問題.為了讓他們能夠繼續學下去.我給他們設置關卡，激起他們的興趣，讓他們在不知不覺中學到了知識，掌握了難點.

【例1】如圖1，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與AB相切的動圓與CA、CB分別相交于P、Q兩點，則線段PQ的長度的最小值為多少？

圖1第一關：本題所用知識點（學生搶答）.

①兩點之間，線段最短.

②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中垂線段最短.

③如果三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

④半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

⑤圓的切線垂直過切點的半徑.

第二關：用好一個知識點即為闖過一關.

分析：（1）在△ABC中，∵AB=10，AC=8，BC=6，有82+62=102，則AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形.（由知識點③得）

（2）∵∠C=90°，∴QP是圓O的直徑.（由知識點④得）

（3）由上可知，∠C所對的弦QP是圓O的直徑，即求PQ最小值轉化為求圓O直徑的最小值.

（4）∵AB是圓O的切線，所以連接OD，則OD⊥AB（由知識點⑤得）.

（5）連接OC、OD，即問題轉化為求CO+OD和最小值.

（6）綜上所述，C到AB的距離即為CO+OD的最小值H，即6×8=10H，得H=4.8.

【例2】如圖2，在△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=60°.以BC邊上的一點作圓O分別與AB、AC邊相切于點D、E，求圓O的半徑r.

圖2第一關：本題所用知識點（學生搶答）.

①在直角三角形中，如果一個銳角等于30°.那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

②圓的切線垂直過切點的半徑.

第二關：用好一個知識點即闖過一關.

分析：（1）過B作BF⊥AC，垂足為F，則在Rt△ABF中，∠A=60°，∠ABF=30°，所以AF=12AB=12×6=3，所以BF=33.（由知識點①得）

（2）連接OD、OE，設OD=OE=r，則OD⊥AB，OE⊥AC.（由知識點②得）

（3）S△ABC=S△ABO+S△ACO，

即12AC·BF=12AB·OD+12AC·OE，

即12×8×33=12×6×r+12×8×r，

r=1237.

此題巧用∠A=60°構造直角三角形，使問題直轉而下，得到突破.

圖3【例3】如圖3，在三角形ABC中，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中點，圓O與AC、BC分別相切于點D、點E，點F是圓O與AB的一個交點.連接DF并延長交CB的延長線于點G，求CG的長.

第一關：本題所用知識點（學生搶答）.

①兩條直線平行，同位角相等.

②在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行.

③三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.

④如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

⑤圓的切線垂直過切點的半徑.

⑥等邊對等角.

第二關：用好一個知識點即為闖過一關.

分析：（1）AC為切線，O為圓心，D為切點.連接OD，則OD⊥AC.（由知識點⑤得）

（2）∵OD⊥AC，BC⊥AC，∴OD∥BC.（由知識點②得）

（3）又點D、點O分別是AC、AB的中點，所以OD=12BC=3.（由知識點③得）

（4）AD=12AC=12×6=3，OD=3，在Rt△ADO中，OA=32，∴AB=62.（由知識點④得）

（5）因為OD=OF，所以∠ODF=∠OFD（由知識點⑥得）.

因為OD∥CG，∠ODG=∠CGD（由知識點②得），∠DFO=∠BFG，所以∠ODF=∠DFO=∠BFG=∠BGF，即∠BFG=∠BGF.所以BP=BG.

（6）BF=BG=AB-2OD2=62-62=32-3，

所以CG=CB+BG=6+32-3=3+32.

有的學生很棒，在闖關的過程中與我設定的闖關路徑不同，走出了一條自己的路，這是值得贊許的.

（責任編輯金鈴）