利用柯西不等式妙解距離問題

柯西不等式是課標新選入的高等數學中的內容，對于一般的學生要求不高.但由于其結構對稱優美，形式多樣，在中學數學中的很多方面都能發現它的應用.筆者重點研究柯西不等式與幾何中距離公式的關系.

一、柯西不等式的一般形式

二、柯西不等式與點到直線距離公式的聯系

筆者將通過對高中階段一道常見的最值題目進行研究，得到兩種“形很遠”而“神很近”的解法，進而找到柯西不等式與幾何中距離問題的聯系.

使用方法二處理時，若問何時取得最小值，還可以運用求兩垂直直線AB與OE交點的方法，得到最值在點E（15，25）處取得.

比較上面兩種方法，不難發現：兩種解法的解題思路相去甚遠，一種是從代數的方向，使用柯西不等式；而另一種則是從幾何的方向，使用點到直線的距離公式.然而不論是最終的結論與還是中間的解題過程，兩種方法都是完全相似的.

那么，柯西不等式和距離之間是否有某些聯系呢？能否用柯西不等式證明平面內一般性的點到直線的距離公式？空間上有點到平面的距離公式嗎，如何定義？

在高中數學必修二中，課本采用平面解析幾何的方式，求出過已知點垂直于已知直線的新直線的方程，再運用方程的思想，聯立方程組，求兩相交直線的交點坐標，最終運用兩點的距離公式得到點到直線的距離公式：平面上的點P（x0，y0）到直線ax+by+c=0（a，b不全為0）的距離為d=|ax0+by0+c|a2+b2.然而，此方法雖然思路簡單，但證明過程卻非常繁瑣.下面筆者將運用柯西不等式證明平面上點到直線的距離公式.

三、運用柯西不等式類比導出點到平面的距離公式

我們知道柯西不等式不僅僅適用于二維的情況，三維乃至n維它仍然適用.由于高中階段對三維空間上的立體幾何也有比較高的要求，因此下面重點應用三維的柯西不等式，得到類似于平面上點到直線距離公式的新的空間上點到平面的距離公式.

四、點到平面的距離公式在立體幾何中應用

立體幾何在高中數學中起著非常重要的作用，其中立體幾何題又是高考必考題.那么，上面得到的公式，是否能在研究立體幾何題中起到作用，幫助我們行之有效地解題？回顧2010年全國各地高考真題，筆者發現證明平行與垂直、求距離與角、求體積與表面積是立體幾何考題的基本模式.如果點到平面的距離公式能解決其中某個或某些問題，那么它本身就有了價值.下面就其中幾道題目進行簡要說明.

以上三個例子都是以點面距離公式為載體，分別求解立體幾何中點面距離、體積、線面所成角、線面垂直、線面平行等問題.應該說此公式適用性還是相當廣泛的，它幾乎能解決大部分的立體幾何題目，因此可作為通式通法進行推廣.