關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》10個核心概念的思考與實踐（一）

編者按：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程內(nèi)容中提出了10個核心概念，應(yīng)該說它們是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心，也是教材的主線，它們的提出更有利于教師理解課程內(nèi)容的本質(zhì)、把握課程內(nèi)容的線索、抓住教學(xué)中的關(guān)鍵。同時，它們也是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過教師的教學(xué)予以落實，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此把握好這些核心概念無論對于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為重要的。為了更好地讓教師理解和掌握，本刊特邀哈爾濱市道外區(qū)數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊對10個核心概念進(jìn)行精心解讀。

主持人：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》已經(jīng)實行了一年多了，圍繞著變與不變，老師們都進(jìn)行了個性化的學(xué)習(xí)。關(guān)于提出的10個核心詞，趙老師能不能宏觀地從整體上談?wù)効捶ǎ?/p>

趙升龍：

這10個核心概念是：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識?？梢岳斫鉃樗膫€層次：

1.新增加了核心概念：運算能力、幾何直觀、模型思想、創(chuàng)新意識。

2.敘述上作了調(diào)整：符號感調(diào)整為符號意識；統(tǒng)計觀念調(diào)整為數(shù)據(jù)分析觀念。

3.雖然敘述上沒有變化，但是內(nèi)涵卻發(fā)生了變化：數(shù)感《新標(biāo)準(zhǔn)》去掉了《實驗稿》中對于數(shù)感描述中與運算有關(guān)的某些內(nèi)容，將其獨立為另一個核心概念：運算能力?？臻g觀念將《實驗稿》中最后一條“能運用圖形形象的描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考”獨立為另一個核心概念“幾何直觀”。

4.敘述上沒有變化，內(nèi)涵也基本保持了原來的說法：推理能力，應(yīng)用意識。

一種感悟：數(shù)感。

一種思想：模型思想。

兩種觀念：空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念。

三種能力：運算能力、推理能力、幾何直觀。

三種意識：符號意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。

依據(jù)應(yīng)用的領(lǐng)域不同又可以分為三個層次：

第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念。數(shù)感、符號意識、運算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，空間觀念主要體現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域；

第二層，體現(xiàn)在不同內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；

第三層，超越課程內(nèi)容，整個小學(xué)數(shù)學(xué)課程都應(yīng)特別注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

主持人：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為什么要把符號感調(diào)整為符號意識？把統(tǒng)計觀念調(diào)整為數(shù)據(jù)分析觀念？

趙升龍：

鄭毓信教授認(rèn)為：“有必要對‘感’‘觀念’‘能力’‘意識’這樣幾個詞的作用作出清楚的說明……‘符號感’這一用詞實在值得商榷，因為我們似乎很難想象什么是對于符號的敏感性?！?/p>

符號：是指具有某種代表意義的標(biāo)識。來源于規(guī)定或者約定成俗，其形式簡單，種類繁多，用途廣泛，具有很強(qiáng)的藝術(shù)魅力。

意識：在心理學(xué)中定義為人所特有的一種對客觀現(xiàn)實的高級心理反映形式。一般認(rèn)為意識中最重要的是自我意識。其實自我意識就是個人對外界刺激總體性的、獨特的反應(yīng)。自我意識并不是生來就有的，而是人在成長過程中從具體的反應(yīng)事件中綜合出來的，用于調(diào)控自我內(nèi)部和與外界關(guān)系。

符號感中的“感”——人們對特定事物或經(jīng)歷所產(chǎn)生的感想與體悟。

符號意識中的“意識”——個人對外界刺激總體性的、獨特的反應(yīng)。

符號感主要的不是意識、直覺。最重要的內(nèi)涵是運用符號進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)，進(jìn)行數(shù)學(xué)活動?！胺栆庾R”有兩個意思：第一，用符號可以進(jìn)行運算，可以進(jìn)行推理； 第二，用符號進(jìn)行的運算和推理得到的結(jié)果具有一般性。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號，并通過概念和符號進(jìn)行運算和推理。所以用“意識”比較合適。 將“符號感”更名為“符號意識”，更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動理解和運用符號的心理傾向。 符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這強(qiáng)調(diào)了符號表示的作用。知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。這一條，強(qiáng)調(diào)了“符號”的一般性特征。因為用數(shù)進(jìn)行的所有運算都是個案，而數(shù)學(xué)要研究一般問題，一般問題須要通過符號來表示。因此一方面符號可以像數(shù)一樣進(jìn)行運算和推理，另外通過符號運算和推理得到的結(jié)論是具有一般性。 比較兩個版本的課程標(biāo)準(zhǔn)，除了概念的厘清外，（2011年版）去掉了“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”，增加了 “知道使用符號可以進(jìn)行一般性的運算和推理”，總體上減小了難度，“有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”。

將“統(tǒng)計觀念”更名為“數(shù)據(jù)分析觀念”，點明了統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。 “數(shù)據(jù)分析觀念”更加突出了統(tǒng)計與概率獨特的思維方法：體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著的信息；根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機(jī)性。核心詞——由“統(tǒng)計觀念”變?yōu)椤皵?shù)據(jù)分析觀念”，原來是圍繞“統(tǒng)計”來思考問題、認(rèn)識統(tǒng)計對決策的作用、對統(tǒng)計過程作出評價，現(xiàn)在是圍繞“數(shù)據(jù)分析”來界定，更加明確和細(xì)致，并且點明了統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。 溝通了“統(tǒng)計”與“概率”的聯(lián)系，突出了統(tǒng)計與概率研究中獨特的思維方式：體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息，根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機(jī)性。同樣點明了數(shù)據(jù)隨機(jī)性最主要的兩層含義：一是對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，二是只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念的三個要求：

過程性要求：讓學(xué)生經(jīng)歷收集、整理、描述、分析數(shù)據(jù)的全過程，通過數(shù)據(jù)分析作出決策和推斷，并體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息。

方法性要求：根據(jù)問題的背景選擇合適的數(shù)據(jù)分析方法。

體驗性要求：通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機(jī)性。

主持人：趙老師能不能對新增的像幾何直觀、運算能力、模型思想等核心詞做一下解讀？

趙升龍：

幾何直觀，分兩部分：一部分是幾何，在這里幾何是指圖形，另一部分是直觀，直觀不僅僅是指直接看到的東西，直接看到的是一個層次，更重要的依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它是一種能力，一種想象能力。

這里很容易讓我們想起“數(shù)形結(jié)合”， 華羅庚曾這樣說： “數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔家分離萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”特別是到了初中、高中學(xué)習(xí)函數(shù)、解析幾何等知識時這個特點體現(xiàn)的更為明顯。所以，在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀有著重要的奠基意義。

幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，必須從兩個角度認(rèn)識它們，否則就不能很好地理解它們，掌握它們，只有這樣才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、直觀，變得可以運用它們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力。

幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

比如：這個一個沒有學(xué)過相遇問題的學(xué)生在求相遇時間的思考過程。

再如：對于這樣一組異分母分?jǐn)?shù)的計算通過看圖再直觀不過了。

關(guān)于學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)，應(yīng)該在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣。

在日常教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路帶來的益處。無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，只有在解決問題的過程中才能發(fā)現(xiàn)問題；只有在畫線段的過程中才能學(xué)會畫線段圖；簡單的問題為了解決這個問題可以不畫線段圖，但是將來為了能用線段圖來解決復(fù)雜的問題，可能就須要開始學(xué)習(xí)畫線段圖；其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維。

掌握、運用一些基本圖形解決問題。

把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等。在教學(xué)中要有意識地強(qiáng)化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果。

（作者單位：哈爾濱市道外區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）