巧添輔助線如畫龍點睛

【摘要】初中二次函數三角形問題是代數與幾何有機結合的一個知識點。在二次函數這部分教學過程中，可以滲透數學思想和解題思路的多樣性。教師在講解二次函數部分時，應該注意二次函數難度的循序漸進，同時，也需要注意學生對數學知識的回顧，注重培養學生數學思維模式和創新思維模式，引導學生進行自主學習和探索學習。

【關鍵詞】初中 二次函數 三角形面積問題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0120-02

引言

二次函數是初中數學的教學重點，對于二次函數的三角形面積問題是代數數學與幾何數學有機結合的一個考點，是初中數學課堂教學的一個重點內容。教師在進行這類問題的講解時，應該注重學生思維能力的培養和綜合應用能力的提升，對于一些題目可以進行一題多解，擴散學生的數學思維模式。

一、拋磚引玉

題目：已知直角坐標系中有B、C、D三點，其坐標分別為（2，0）、（0，2）、（1，3），一次連接這三個點，求其圍城三角形的面積。

問題引導：先在平面指教坐標系中一次標出B、C、D三點的坐標位置，并按題目要求依次連接，形成三角形BCD，在具體求三角形BCD面積中會遇到不能確定其底邊長與底邊上高的問題。教師可以提醒學生利用直角坐標系的優勢，用“割補法”進行三角形面積的求解。

教學感悟：教師可以在教學過程中，對有些數學問題進行建模，引導并培養學生在數學建模方面的能力。對于上面求解三角形面積的問題，教師可以讓學生將自己的“割補”思想表達出來，師生一起進行探討學習，學生自己想出來的解題方法通常是其思維能力的一種表現，教師應該充分的發現和挖掘學生的思維模式。

二、構建例題

例題：如下圖所示，已知拋物線經過B、C兩點，對稱軸為X=3/4，求以下問題：（1）求該拋物線的解析式，該拋物線與X軸的另外一個交點坐標和頂點坐標；（2）求三角形BCD的面積。

問題引導：求二次函數的解析式常用的有哪幾種方法？在求二次函數的解析式時，需要知道哪些條件？哪種方法更加適合本題的求解？關于三角形BCD面積的求解，需要知道什么條件？三角形BCD的面積應該如何進行求解？教師在數學課堂上可以通過一系列的問題對學生進行相關的提點，幫助學生理清解題思路。

設計目的：通過對本題解析式的求解，可以讓學生更加熟悉二次函數解析式的三種不同的表達式，可以幫助學生理解二次函數解析式不同表達方式之間的相互轉換，幫助學生對平面直角坐標系中關于三角形面積求解問題的思考方法。教師在數學教學課堂中可以采用循序漸進的方法進行教學，由簡單到復雜，由單一到多變。

教師可以對例題進行相關的變形，得到變式1：已知拋物線與直角坐標系的X軸的B、C兩點相交，與Y軸相交于C點，連接BC兩點，D是拋物線上的點，在拋物線與線段BC相交的上方進行移動（不與B、C兩點重合），問：點D在拋物線上移動到什么位置時，三角形BCD的面積最大，并算出此時三角形BCD的面積和點D的坐標。

問題引導：例題與變式1之間的相同點和不同點？在求三角形BCD的面積時，哪些條件是已知的，哪些條件是未知的，與三角形BCD面積計算式之間的關系是怎樣的？拋物線的最值問題與變式1之間有沒有聯系？如有，應該如何構建三角形BCD的面積與點D坐標之間的關系？在題目圖形的建模過程中，“分割法”是否能夠運用到變形1的解題中？

在一系列的問題引導后，教師可以為學生交流自己解題思路提供一個平臺，相互之間的思維模式的學習和借鑒，逐漸培養學生具備一題多解的能力，提高學生數學知識的應用能力。

變式2：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2，直線方程為Y=-X+3/4相交于兩點B、C，點D是直線上方拋物線上的一個動點（與B、C兩點均不重合），問：D點在拋物線上什么位置時，三角形BCD的面積最大，并求出此時三角形BCD的面積和D點的坐標。

問題引導：變式2與變式1之間相同點與不同點？結合它們之間的關系可以聯想到什么解題思路？在這幾種解題思路中，哪種思路更加簡單？結合這幾種題型，進行相關的學習總結。

解析思路：過D點作直線DE平行于Y軸，與直線BC相交于E點，根據直線BC的解析式可以用變量表示E點的坐標，D點的坐標也可以對應的E點的變量進行表示：

線段DE=YD-YE，用E點的橫坐標可以表示為DE=-2X2+4X+11/4，再將直線方程與拋物線解析式聯立進行求解，可以得出其相交的兩點BC的坐標，進而求出BC之間的距離，線段DE的長度可以求出，即三角形BCD的面積可以分割為三角形CDE和三角形BEN的面積之和。

變式3：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2與直線方程為Y=-X+3/4相交于B、C兩點，D是平拋物線上的一個動點，在B、C兩點之間運動且不與B、C兩點重合，問當D點運動到什么位置時，三角形BCD的面積是最大的？并求出此時D點的坐標和三角形BCD的最大面積。

問題引導：變式3與變式2之間的相同點和不同點？不同點有哪些？能夠用相同的解題思路進行解題嗎？

解題分析：隨著D點的移動，三角形BCD的圖形也會發生相應的變化，如下圖所示：

過D點做平行于Y軸的平行線DF，與直線方程相交于F點，可以根據F點是直線方程上的點，用變量表示F點的坐標，DF是平行于Y軸的，可以對應的用變量表示出D點的坐標。

三、教學反思

教師在對每一章節的內容進行課堂教學后可以適當的進行一些課堂總結或者小型測試，了解學生對所學章節內容的掌握程度。教師也需要對自己教學思路進行反思，結合學生的數學基礎，進行循序漸進的引導，適當的將數學函數的應用題與實際生活中的應用問題相結合，培養學生對數學函數問題的建模能力。

結論

初中二次函數三角形面積求解問題，教師首先應該培養學生的數學建模能力，通過二維直角坐標系中的斜三角形的面積求解問題進行二次函數三角形面積求解問題的引入。在具體的解題中，教師應該引入不同的解題思路和解題方法，逐漸培養學生能夠進行一題多解的思維能力。教師可以從二次函數上定點三角形面積問題的求解開始，逐漸演變為在二次函數上的動點問題所在三角形最大面積問題的求解。這需要教師將直線方程與二次函數的相交點之間的關系進行充分的應用，相關變量表示D的橫坐標進而用拋物線解析式表示縱坐標，三角形的面積問題最終就換成二次函數最值的求解問題，即幾何問題最值問題的求解轉變成代數最值問題的求解，對學生的數學綜合應用能力的培養至關重要。

參考文獻：

[1]楊學文.初中二次函數三角形面積問題透析[J].時代教育， 2013（12）

[2]唐祥龍.初中二次函數三角形面積問題透析[J].科學大眾（科學教育）， 2012（10）