在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入案例教學(xué)法的探討

【摘要】本文作者結(jié)合多年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中使用案例教學(xué)方法的要點(diǎn)，并通過(guò)兩個(gè)具體案例說(shuō)明概念的引入和案例使用的方法。

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 案例 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）10-0105-02

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，是認(rèn)識(shí)各種隨機(jī)現(xiàn)象的基礎(chǔ)，它通過(guò)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察找出內(nèi)在的規(guī)律性，并對(duì)內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行定量分析給出理論。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有明顯的實(shí)際背景和廣闊的應(yīng)用空間，在教學(xué)中適當(dāng)引入案例，通過(guò)分析實(shí)際案例，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，更好地掌握這門課程。

1.案例教學(xué)的要點(diǎn)

1.1案例教學(xué)與理論教學(xué)相輔相成

案例是為教學(xué)服務(wù)的，一定要處理好主次關(guān)系，只有理解基本概念和基本理論，才能展開案例討論。將講授式授課和案例教學(xué)結(jié)合起來(lái)，這樣既能夠使學(xué)生系統(tǒng)掌握理論知識(shí)，又能夠應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題。

1.2案例的選擇

案例的選擇要做到有的放矢，盡量選擇和課程內(nèi)容密切相關(guān)并能聯(lián)系學(xué)生專業(yè)實(shí)際的案例，也可以選擇一些社會(huì)生活中學(xué)生有濃厚興趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題；案例要具有代表性，要能夠從案例的解決過(guò)程中得出一般的規(guī)律，并通過(guò)案例的分析讓學(xué)生學(xué)到方法論；案例的難易程度要適中，這樣才能在有限的課堂時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)。

1.3案例在課堂教學(xué)中的使用

在保證完成正常教學(xué)進(jìn)度的前提下插入案例，做到案例教學(xué)與課堂知識(shí)的有機(jī)結(jié)合。 教師可以從案例出發(fā)引入概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念、基本原理、統(tǒng)計(jì)方法，也可以選擇合適案例來(lái)說(shuō)明概率統(tǒng)計(jì)原理與方法的應(yīng)用。

2.由問(wèn)題引出概念

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)中引入知識(shí)時(shí)，由問(wèn)題出發(fā)引出新的概念、公式、定理，這樣，教師能很好地利用學(xué)生已有的或較易理解的知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也能通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的或較易理解的知識(shí)去接受和掌握新的知識(shí)和規(guī)律。比如在介紹數(shù)學(xué)期望定義時(shí)，我們采用由實(shí)際問(wèn)題引入，然后給出離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義。

首先提出案例：某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察，我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況。其中32天沒(méi)有出廢品；30天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。那么小張?jiān)?00中每天平均廢品數(shù)為多少？（ 這里假設(shè)小張每天出廢品數(shù)不超過(guò)3件）

學(xué)生很容易應(yīng)用算數(shù)知識(shí)得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為：

接下來(lái)讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天會(huì)不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)會(huì)不會(huì)也是1.27呢？

學(xué)生回答：“不一定。”教師問(wèn)：“為什么不一定呢？”學(xué)生回答：“因?yàn)樾埫刻焐a(chǎn)的廢品數(shù)具有隨機(jī)性。”這樣教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)，設(shè)車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)x是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義x的平均值呢？

可以想象，一般來(lái)說(shuō)，若統(tǒng)計(jì)n天，其中n0天沒(méi)有出廢品；n1天每天出一件廢品；n2天每天出兩件廢品；n3天每天出三件廢品。可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為：

這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均。當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)x的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為：

這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均，這樣得到的確定的數(shù)就是隨機(jī)變量x的平均值。于是請(qǐng)學(xué)生給出平均值的定義，從而引出數(shù)學(xué)期望。

數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)x是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是P{X=xk}=pk k=1，2，…，若級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)xkpk的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望又稱為均值，記為E（X）， 即E（X）

像這樣通過(guò)實(shí)際案例引入概念，使學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程之后加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。

3.應(yīng)用案例舉例

對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用，可以選擇一些源于課本又高于課本的案例，引導(dǎo)學(xué)生去思考，根據(jù)所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，下面以“手機(jī)話費(fèi)套餐選擇問(wèn)題”為例。

設(shè)某通訊公司有若干種手機(jī)月話費(fèi)套餐如下：

3.1神州行大眾套餐

3.1.1市話費(fèi)為月包干費(fèi)10元，送每月100分鐘市話費(fèi)；

3.1.2市話費(fèi)為月包干費(fèi)20元，送每月200分鐘市話費(fèi)；

3.1.3市話費(fèi)為月包干費(fèi)30元，送每月300分鐘市話費(fèi)；

3.1.4市話費(fèi)為月包干費(fèi)50元，送每月500分鐘市話費(fèi)。

其他費(fèi)用有來(lái)電顯示費(fèi)每月5元，超過(guò)包干市話時(shí)間后，呼入呼出每分鐘0.4元；國(guó)內(nèi)漫游每分鐘0.6元；移動(dòng)公司內(nèi)短信每條0.1元；聯(lián)通及小靈通短信每條0.15元等。這些費(fèi)用對(duì)四種套餐都是一致的。

3.2新順心卡

市話費(fèi)為每分鐘0.15元，500次被叫為每分鐘0.02元，來(lái)電顯示費(fèi)每月5元，省內(nèi)漫游每分鐘0.8元，不能進(jìn)行省際漫游。

檢查一段時(shí)間內(nèi)（如一年）某用戶每月的市話通話總時(shí)間的取值情況如下（單位：分鐘）：

試問(wèn)該用戶怎樣選擇上述套餐可以使每月的話費(fèi)最省？

這一案例中蘊(yùn)含了很多概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，比如隨機(jī)變量的分布，正態(tài)分布，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，中心極限定理，統(tǒng)計(jì)樣本的選取，樣本均值，樣本方差等。

令Y表示某用戶的手機(jī)在一個(gè)月內(nèi)呼叫或被呼叫的市話時(shí)間總數(shù)（單位：分鐘）。則Y為隨機(jī)變量。

由中心極限定理知，該手機(jī)用戶每月市話時(shí)間大致服從正態(tài)分布。從上述樣本知，

令Y表示某用戶一個(gè)月的手機(jī)市話費(fèi)則依據(jù)不同的繳費(fèi)方式，如神州行大眾套餐，可得隨機(jī)變量Y與X的函數(shù)關(guān)系如下：

此處，常數(shù)c分別取100分鐘，200分鐘，300分鐘和500分鐘。

問(wèn)題的本質(zhì)轉(zhuǎn)化為計(jì)算手機(jī)話費(fèi)的期望值，期望值較低的付費(fèi)就較合理。由上述關(guān)系式很容易算得隨機(jī)變量Y的期望值。

另外，新順心卡的期望值：

由此可見(jiàn)，若忽略漫游、短信等其他費(fèi)用，僅考慮市話費(fèi)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該手機(jī)用戶選擇每月20元話費(fèi)包干時(shí)的理想消費(fèi)值最低，故應(yīng)該選擇每月20元話費(fèi)包干。

總之，案例教學(xué)法不但適用于教學(xué)主題的導(dǎo)入，也適用于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深化和補(bǔ)充，好的案例不但能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，而且能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握，從而達(dá)到提高課堂教學(xué)效果的目的。

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