為學生構建思維發展的空間

【摘 要】在新課程的實施過程中，人們最為關注的一個問題就是關于評價的改革，尤其是升學考試的改革。由于開放性試題是考查學生分析問題和解決問題的能力及創新意識的良好載體，因而成為中考熱點之一。因此，在平時的教學中，尤其是中考復習時，教師要注意這類題型的編寫和訓練，以利于學生自主探索、合作與交流，為學生的發展創造一種寬松的環境。

【關鍵詞】開放性習題 多元化 層次性 開放度

所謂開放性習題，是指教師提供問題的條件，其結論由學生根據相應的條件開展自我探索；或者是教師提供問題的結論，其條件由學生自主研究；或者是教師對提供的條件以及結論作某種改變，要求學生自行推斷原先提供的條件及結論所發生的相應變化。開放性習題不但利于激發學生探究知識的熱情，而且更能有效地培養學生的思維能力。

開放性習題一般具有結論不確定、不唯一，條件約束不呆板等特點，它往往要求學生轉變聚攏性思維的定勢，開展發散性思維，是發展學生個性、鼓勵學生創造發明的有效途徑。因此教師在平時教學過程中要銳意改革、大膽探究，不斷在調查、分析學情的前提下，有意識地編寫一些符合學生認知規律的開放性習題，讓學生在教師的引導下，充分發揮主觀能動性，進而在協商學習中成為挑戰未來的創造型人才。那么，怎樣編寫開放性習題呢？

一、編寫開放性習題要依標據本

現行教材中的例題和習題都是根據數學課程標準要求編寫的，具有不同年級教學的個性特點。因此，理解掌握課程標準的理念和內容是我們編寫開放性習題的依據。數學課程標準指出“數學教學應從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習”。可見，教師在編寫開放性習題時不僅要緊扣課本和課標，還要符合學生認知規律，貼近學生實際。由于中考試題總體上呈現“源于教材又高于教材”、“靈活多變，舊題新出”的特點，這就傳遞了一個信息：無論是新授課還是復習課，教師應該挖掘教材中典型例題、習題的教學功能，重視數學模型的建立和問題解決的思考方法，使學生觸類旁通。就此而言，教師可采取“拿來主義”，以課本中有關例題和習題為基礎，通過教者變換求解角度，即對某個條件或結論進行新包裝，馬上就如投一石激起千層浪，使學生思維產生新的變異。

例如：已知直線l及同側兩點A、B，在直線l上求一點P，使PA+PB最小。該題滲透運用圖形軸對稱“化折為直”的模型思想。現將此題的條件、結論作重新包裝。如圖1，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于A（1，0）、B（-3，0）兩點，交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，試說明理由。

通過對課本例題、習題的改造，不但有利于學生鞏固所學知識，而且還有利于學生思維向縱深發展。

二、編寫開放性習題要注重知識的多元化

數學開放性習題的顯著特點在于某些要素的不確定性，它的條件、解題策略、結論常常要求學生在問題情景中自行設定和尋找。因此，編寫開放性習題要具有綜合性，要能融合學生所學知識的各個領域，便于檢查學生綜合理解能力和數學思維能力。

例如：在5×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，請在圖2中按下列要求畫圖。

（1）從點A出發的一條線段AB，使它的另一個端點落在網格上，且長度為。

（2）以（1）中的AB為邊的一個等腰△ABC，使點C在格點上，且另兩邊長都是無理數。

（3）以（1）中AB為邊的兩個凸多邊形，使它們都是中心對稱圖形，且不全等，其頂點都在格點上，且各邊長都是無理數。

上述例題要求學生在原有簡單思維的基礎上，向復雜思維飛躍，此題包括代數中的根式、無理數與幾何中的勾股定理、等腰三角形、四邊形和中心對稱等方面的知識，體現了數形結合的數學思想，本題（2）（3）小題答案均不唯一，具有一定的開放性，其中第（3）小題的開放度較高。盡管此題有一定的難度，但只要學生能在輻射思維的前提下，對這些知識加以綜合性思考，并能有規律地加以討論推敲，就能達到“柳暗花明”的勝境。

三、編寫開放性習題必須具有層次性

發展學生的思維，培養學生的創新能力，不能只針對少數優等生，而應該面向全體學生，以求人人都能顯示創造力，因此，教師編寫開放性習題時，可以通過設計問題串，引導學生步步深入，層層遞進，逐步發現數學規律，這樣可以使習題具有較高的層次性，使不同層次的學生都能得到充分的展示，體現了數學課程標準所提出的“人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”的理念。

例如：（1）如圖3，AD是圓的直徑，L是經過點D的切線，B、C是直線L上的兩點，AB、AC交圓于E、F，求證AE·AB=AF·AC。

（2）在（1）題中若將直線L向上平移與圓相交，如圖4，那么上述等式是否成立？為什么？

本例的第（1）問幾乎所有的學生都能順利地做出正確的證明，而第（2）問則是第（1）問的延伸，只要學生從圖形的內在聯系及條件的變化規律去探索，多數學生是能夠做出正確判斷的。通過此題的解答，學生經歷了數學結論的探索、發現、驗證與應用的過程，這樣使學生體會到數學的奧妙與價值。

四、編寫開放性習題要把握好開放度

教師在編寫開放性習題時，無論題目的內容、形式，還是題目的難易度，都要把握好開放度，若編寫的問題過于容易，則失去編寫意義；若編寫的問題難度過大，則勢必使學生望而生畏，無所適從，這樣會使學生失去學習數學的信心，其思維能力必將會受到遏制。為此，我們在編寫開放性習題時，要做到腦中有標準，眼中有學生，胸中有教材，所編寫的習題要像掛在頭頂上的果實，讓學生跳一跳就能摘到。

如圖5所示：AC是四邊形ABCD的對角線，BM垂直AC于M，DN垂直AC于N，要使四邊形DNBM恰好形成平行四邊形，則四邊形ABCD應具備什么樣的條件？試提出你的猜想并寫出證明過程。

此題并不太難，筆者原以為學生學習了平行四邊形的有關知識后，只需略加思索就能加以解決，但結果令人大失所望。究其原因，關鍵是“度”沒掌握好。這種題目看起來很簡單，其實不然，它不但蘊含復雜的思維過程，而且具有一定的難度。因此教師編寫開放性習題必須始終站在學生的立場上，一切從有利于學生主觀發展的角度出發。

編寫開放性習題的方法還有許多，但筆者認為，在編寫開放性習題時，應注意問題情景的新穎性和探究性，同時還應注意把握好問題的層次性和開放度，為學生構建廣闊的思維空間，力求引導學生進行“多方面、多角度、多層次”的探索。

（作者單位：江蘇省高郵市菱塘民族初中）