靈動的課堂，本真的數學

【課堂實錄】

一、創設情境，導入新課

教師投影幻燈片展示圖1，并提出以下問題：

問題1：圖中共有幾個角？對于△ABC來說，這些角該怎樣稱呼呢？

生A（略帶遲疑地）：圖中有4個角：∠A、∠B、∠ACB、∠ACD，其中∠A、∠B、∠ACB是△ABC的三個內角，∠ACD，不知道，好像沒學過。

生B（充滿自信地）：我想∠ACD應叫做外角，因為∠ACD在△ABC的外面，那當然叫做外角啦?。ㄈ鄬W生笑）

師笑容可掬，故作延遲判斷狀，因為還有一只只手舉著要爭相發言呢。

生C（語無倫次地）：我也給∠ACD起名為外角，但生B的理由我不同意，我不會說，但我會畫。

接著生C在黑板上畫出圖2、圖3，并指出圖2中∠1不是外角，用于反駁生B的觀點，而圖3中∠1～∠6都是△ABC的外角，用于直觀感知外角的概念。

師（覺得介入的時機成熟了）：同學們很有創意，特別是生C的理解非常到位，∠ACD確實叫做△ABC的外角（板書課題）。那么，同學們能否在生C的理解基礎上進一步給出三角形外角的定義呢？

在學生“悱憤”心理的認知沖突下，經教師點撥，共同概括出三角形的外角的定義。

二、合作探究，發現定理

師繼續拋出問題2：在圖1這4個角中，試找出它們之間存在的數量關系，你能找到幾個不同的數量關系呢？

生D（迫不及待地）：我找到兩個關系式：一個是∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的內角和為180°），另一個是∠ACB+∠ACD=180°（一個外角與相鄰的內角互為鄰補角）。

師（由衷地點頭）：很好，生D不僅找出了角之間的數量關系，而且還將彼此間的位置關系描述了出來。他發現了三個內角之間的關系，以及一個外角與相鄰內角的關系。還有沒有其他的數量關系呢？或者說，是否還缺了哪一種情形的位置關系沒有研究呢？

教師總結時，下意識地將加點字的語氣加重，以引起學生的有意注意。

眾生（心有靈犀地）：還有一個外角與不相鄰的內角之間的關系沒有研究。

師順水推舟地再拋出問題3：那么外角∠ACD與不相鄰的內角∠A、∠B之間有怎樣的關系呢？試探究。

為了提高探究性學習的有效性，教師采用小組合作交流的形式，并引導學生圍繞以下兩個核心問題展開：①能夠將∠ACD與∠A、∠B聯系起來的紐帶是哪個角？②解決問題的方法通常有觀察、實驗、測量、操作、驗證和推理等，你打算用什么方法解決這個問題？

由于設計了核心問題，就為學生的探究搭建了“攀爬”的平臺，再加上問題本身難度不是很大，學生只要“跳一跳”，就完全能“摘到桃”，因此小組討論非常熱烈，氣氛空前高漲，解決問題的方案層出不窮，令人大飽眼福。以下是各小組代表依次上臺展示該組的交流成果。

生E（胸有成竹地）：我們小組通過推理一致認為∠ACD=∠A+∠B。我們找的∠ACB就起到將∠ACD與∠A、∠B聯系起來的紐帶作用。因為一方面∠ACB=180°-（∠A+∠B），另一方面∠ACB=180°-∠ACD，所以180°-（∠A+∠B）=180°-∠ACD，即∠ACD=∠A+∠B。

生F（從容不迫地）：我們也發現了∠ACD=∠A+∠B，不過我們是通過實驗操作得來的。具體地講，將圖1畫在白紙上，記∠A、∠B、∠ACB、∠ACD依次為γ、α、β、χ，如圖4所示剪下∠A、∠B與∠ACD，然后將∠A、∠B一起拼到∠ACD上（如圖5），發現∠A、∠B的和恰為∠ACD。

生G（忸怩地）：我們小組也是將圖1畫在白紙上，用量角器度量了∠A、∠B與∠ACD的度數，量得∠A=71°，∠B=63°，∠ACD=135°。發現∠ACD>∠A，∠ACD>∠B，∠A、∠B的和近似地等于∠ACD。

生H（昂首挺胸地）：我們小組是用邏輯推理論證了∠ACD=∠A+∠B，只要過點A作AE∥BC（如圖6所示），這樣∠B=∠1，∠BAC+∠B即為∠EAC，而∠EAC=∠ACD，因此∠ACD=∠A+∠B。

生I（有感而發）：我受生F和生H的啟發，過點C作CE∥AB（如圖7所示），則∠A=∠1，∠B=∠2，于是∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B。

“老師，還有過點B作AC的平行線……”

“老師，還有在BC上任取一點E，過E分別作AC、AB的平行線……”

……

【幾點思考】

一、靈動的課堂需要學生能全面深刻地參與到數學活動中

在數學課堂中，學生參與數學學習的意愿、能力和程度對學習目標的達成具有基礎性地位。如果說參與的廣度是保證學生的參與面，那么參與的深度則是要求學生參與有價值的數學活動。本節課的教學，以人為本的教學理念一覽無余，在課堂上，教師始終抓住“三角形外角的概念及其性質”這一主線展開教學，設置的開放性問題貌似簡單，實則富有彈性，極具挑戰性，這符合學生的心理特征和認知規律。同時，教師在課堂上給學生留有足夠的思維空間，讓學生對問題有深度思考，然后通過語言表述形成思維爭辯，從而提高學生的思維層次。而反思我們平時的教學效果，往往是教師教得苦，學生學得累，數學成績上不去。因為教師往往在知識上拔高教學要求，在思維上降低要求；在課堂上往往降低思維空間，設鋪墊、細分析，把計劃與決策攬給自己，把細節與計算留給學生，甚至在課堂上出現大量的“是不是”“對不對”等無效提問，這些做法無疑是與以培養學生創新能力為核心的教育價值觀背道而馳的。

二、本真的數學需要教師在課堂中關注“數學本質”

關注“數學本質”，就要讓學生“數學地思考問題”。具體地說，就是讓學生學習思考和解決問題的數學觀點和思想方法，積累數學知識和活動經驗，這些無疑是學生終身學習的寶貴財富。該課例的成功之處在于教師抓住了初中學生求知的好奇心和好勝心，在學生“最近發展區”上設置“障礙”，激發了學生的學習興趣和學習內驅力，引起了學生的高度關注，繼而在課堂上產生了一連串精彩的回答。這些都體現了學生的聰明才智，也彰顯了教師“急中生智”的教學智慧。像這樣的精彩生成得益于平時營造的和諧寬松的學習氛圍，“約束”少了，學生的思維就“自由奔放”了，就更容易擦出“思維的火花”?？梢?，在數學課堂教學中，教師應充分關注學習內容的數學教育價值、地位和作用，關注這些知識是怎樣形成和發展的，其中蘊含了哪些數學思想方法等。而反思我們平時的教學，教師分析教學內容往往只見樹木，不見森林，不是從數學整體上分析當前的學習內容，而是就當前的學習內容來分析學習內容，教師難以形成一致的、穩定的教育價值追求。

《義務教育數學課程標準》指出：“數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。數學學習的主題應當是基本的、重要的數學觀念，數學思想方法和數學活動，而不是單純的數學事實。”為此，我們教師有必要再次學習《數學課程標準》，全面、深刻、正確地理解和把握其精神實質，認真研究教材內容和學生的認知特點，精心設計教學過程，最大限度地激起學生的認知沖突，讓數學課堂靈動起來，讓數學的“本真”之花綻放。

（作者單位：江蘇省無錫市安鎮中學）