增強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，凸顯數(shù)學(xué)的文化價值

【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要著眼于數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，更要著眼于數(shù)學(xué)的思維價值和文化價值。“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活而又服務(wù)于生活的意識，把豐富的生活感知和數(shù)學(xué)理性有機(jī)融合起來，讓學(xué)生感受到生活中有數(shù)學(xué)。“函數(shù)的單調(diào)性”是對函數(shù)圖象特征的一種數(shù)學(xué)描述，它經(jīng)歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數(shù)學(xué)符號語言描述的進(jìn)化過程，這個過程充分反映了數(shù)學(xué)的理性精神。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性 文化價值 理性精神

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，構(gòu)成了公民所必須具備的一種基本素質(zhì)。”數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要著眼于數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，更要著眼于數(shù)學(xué)的思維價值和文化價值，這樣才能深入到數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價值。我們的數(shù)學(xué)教育一直強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。但要注意的是對這一能力的理解不能太狹窄，它不僅意味著解數(shù)學(xué)題的能力，或者將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來處理的能力，而且還應(yīng)當(dāng)包括善于用數(shù)學(xué)思維方式去考慮問題、處理問題的能力，對學(xué)生今后的生活和工作來說，后者往往比前者更為重要、更能發(fā)揮作用，我們所講的數(shù)學(xué)的文化意義其核心也就是數(shù)學(xué)的觀念、意識和思維方式。

所謂數(shù)學(xué)的觀念和意識，也就是人們常說的數(shù)學(xué)的頭腦、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，準(zhǔn)確地說是推理意識、抽象意識、整體意識和化歸意識。比如說推理意識，體現(xiàn)了演繹邏輯的可靠性、嚴(yán)謹(jǐn)性和思維方式的廣泛性、深刻性，這有助于學(xué)生不盲從、有條理、善思辨，在錯綜復(fù)雜的問題面前不被表象所迷惑，而能夠透過現(xiàn)象，洞察事物的本質(zhì)，揭示相互之間的關(guān)系，在辦事處世時頭腦里總有一個條理清晰的樹形圖，從而能更有效地解決問題。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)在提高學(xué)生的推理能力這一基本的文化修養(yǎng)方面多做一些開拓性的工作，比如教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題應(yīng)走出封閉的體系，改變呆板的單一題型，減少機(jī)械模仿，淡化技巧形式，增加探索性、開放性的情景問題的研討。這是因?yàn)椋诮窈蟮墓ぷ鳌⑸钪兴龅降膯栴}往往是開放式的，條件不是不多不少、結(jié)論不是標(biāo)準(zhǔn)單一、狀態(tài)也不是那么清晰，這就要求人們善于篩選、概Dn1RCMntbEWlRoQdaZCaqbVg+F7Y2vh4Ssi3DaL0MSs=括、推理、分析，從而綱舉目張。

本文以蘇教版高中《數(shù)學(xué)》必修1“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)劰P者在平時的教學(xué)中是如何滲透數(shù)學(xué)文化，追求數(shù)學(xué)本真的。

一、“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計

“函數(shù)的單調(diào)性”問題既是學(xué)生學(xué)過的函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)，它是整個高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下作用的核心知識之一。從方法論的角度分析，本節(jié)教學(xué)過程中還滲透了探索發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。為此我們通過學(xué)生熟悉的實(shí)際生活問題引入課題，為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性創(chuàng)設(shè)文化氛圍和教學(xué)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生主體參與的積極性，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的快樂和成功的喜悅。基于上述思考，我設(shè)計了如下的教學(xué)方案。

1.創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題。

【教學(xué)情境1】大屏幕播放波濤起伏的海寧潮，并配詩文解說。

海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀FrRpmJlWtMrUp60znH54aV86i+k4F5yUNk6BbBuHO3I=”。“八月十八潮，壯觀天下無。”海寧潮是一個壯觀無比的自然動態(tài)奇觀，當(dāng)江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”，潮起潮落，牽動了無數(shù)人的心。

同學(xué)們，如何用函數(shù)形式來表示潮起和潮落？

【教學(xué)情境2】教師和學(xué)生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語。例如，蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。

同學(xué)們，如何用學(xué)過的函數(shù)圖象來描繪這些成語？

（設(shè)計意圖：海寧潮潮起潮落，把學(xué)生帶進(jìn)了美麗的大自然的懷抱；生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語，為學(xué)生建立起數(shù)學(xué)與文化的橋梁，同時巧妙地揭示了本節(jié)課研究的主題。從潮起潮落，由成語到函數(shù)圖象的問題情境，幫助學(xué)生用樸素的生活語言描述他們對變化規(guī)律的理解，并學(xué)會將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，這樣做可使教學(xué)過程富有情趣，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教學(xué)起點(diǎn)的設(shè)定也比較恰當(dāng)，學(xué)生的參與度較高。）

2.溫故知新，建構(gòu)概念。

【問題1】觀察學(xué)生繪制的函數(shù)的圖象（實(shí)際教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，在另一區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。

【問題2】對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中學(xué)習(xí)時是怎樣描述的？

例如：初中學(xué)習(xí)時y=x2，我們知道，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢？圳數(shù)值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢？圳數(shù)值y隨x的增大而減小。函數(shù)的這種性質(zhì)被稱為函數(shù)的單調(diào)性。

（設(shè)計意圖：學(xué)生在函數(shù)單調(diào)性這一概念的學(xué)習(xí)上有三個認(rèn)知基礎(chǔ)。一是生活體驗(yàn)，二是函數(shù)圖象，三是初中對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識。對照繪制的函數(shù)圖象，讓學(xué)生回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的描述的定義，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的符號化建構(gòu)，與學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)銜接緊密，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。）

【問題3】如何用符號化的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？

我們可以用以下方法來進(jìn)行刻畫。如圖所示，對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1

【問題4】如何定義單調(diào)減函數(shù)呢？

可以通過類比的方法給出減函數(shù)的定義。

特別要注意的是用“區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1， x2”來刻畫一般性，用“當(dāng)x1

可先讓學(xué)生討論，師生共同歸納：單調(diào)遞增是x與y“共同進(jìn)退”，單調(diào)遞減是x與y“此消彼長”。

（設(shè)計意圖：通過師生雙邊活動及學(xué)生討論，可以讓學(xué)生充分參與用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)單調(diào)性的全過程，讓他們親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴(yán)密。讓他們充分感悟數(shù)學(xué)概念符號化的建構(gòu)原則。問題4則要求學(xué)生結(jié)合圖象化單調(diào)增函數(shù)的定義，通過類比的方法，由學(xué)生自己得到單調(diào)減函數(shù)的概念，在這個過程中，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)概念是如何擴(kuò)充完善的。）

3.反思質(zhì)疑，發(fā)展思維。

【問題5】怎樣利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明某一函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性。

分析課本第38頁例2的證明過程，向?qū)W生指出要比較f（x1）與f（x2）的大小，可以轉(zhuǎn)化為判斷f（x1）-f（x2）的差的正負(fù)來確定，這是轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下的產(chǎn)物。

師生合作總結(jié)規(guī)律，證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。

請學(xué)生思考：（1）判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)。

（2）能否說明函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)？

（設(shè)計意圖：學(xué)生對一個概念的認(rèn)識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學(xué)和構(gòu)造反例幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延。在學(xué)習(xí)如何證明一個函數(shù)的單調(diào)性之前，先與學(xué)生一起探討怎樣才能否定一個函數(shù)的單調(diào)性，對幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念尤為重要，可以加深學(xué)生對“任意”兩字的理解。這樣既能幫助學(xué)生掌握知識，又能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神。）

4.感受成功，激發(fā)興趣。

【問題7】在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜。你能運(yùn)用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來解釋這一現(xiàn)象嗎？

（設(shè)計意圖：從定向性的證明，到自我探+ug/qa1OeYKK3iy+AsLqbmuXoZ0uRkc0aU0cWqpxMZQ=索單調(diào)區(qū)間完成證明，是一個很大的跨越，但在此探索過程中，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中“數(shù)形”的聯(lián)系和互相驗(yàn)證，體會到成功解決問題的快樂。生活中實(shí)際問題的提供體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，也應(yīng)用于解決生活中的問題。通過這個實(shí)例，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情。）

二、對“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計的幾點(diǎn)思考

“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計，從生活中的實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索函數(shù)單調(diào)性的概念，應(yīng)用圖象和單調(diào)性的定義解決函數(shù)單調(diào)性問題，其教學(xué)目的就是要讓學(xué)生在研究和探索的學(xué)習(xí)過程中，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到培養(yǎng)和提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。對于“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計我們有如下的幾點(diǎn)思考，供讀者參考。

1.關(guān)注實(shí)際生活，感悟數(shù)學(xué)文化。

注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一，教師在做教學(xué)設(shè)計的時候要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容盡可能地創(chuàng)設(shè)一些生動、鮮活的生活情景，從學(xué)生平時感覺到的事物入手，把生活中的數(shù)學(xué)原型展現(xiàn)在課堂中，使學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)不再是簡單的數(shù)學(xué)，而是富有情感、具有活力的知識，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時激發(fā)學(xué)生熱愛生活的情感。如引入天下奇觀海寧潮以及描述升降變化的成語，讓學(xué)生感受到了濃濃的文化氣息和數(shù)學(xué)的魅力所在，通過創(chuàng)設(shè)一系列的問題，引發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的求知欲和好奇心。學(xué)生在熟悉的情景中，把自己和數(shù)學(xué)融為一體，在不知不覺中掌握了知識，感悟了數(shù)學(xué)文化，在生活實(shí)踐中自覺地應(yīng)用了數(shù)學(xué)知識。

2.感受數(shù)學(xué)直覺，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念。

教學(xué)設(shè)計最根本的著力點(diǎn)是“為學(xué)習(xí)設(shè)計教學(xué)”， 如果把教學(xué)看作是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起去遠(yuǎn)足，那么學(xué)情分析的目的是要分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，確定一個合情合理的教學(xué)起點(diǎn)；“目標(biāo)導(dǎo)向”是教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵，教師要分析預(yù)期達(dá)到的教學(xué)效果，即遠(yuǎn)足所期望到達(dá)的目的地，這是教學(xué)的根本和核心任務(wù)；“知識定位”則好比是教師要預(yù)先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進(jìn)的方法和策略；“問題設(shè)計”則好比是設(shè)計行程，恰當(dāng)安排可以指引師生高效地向著目的地前行。“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計中，設(shè)計問題引發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生的參與意識，通過直觀圖形將函數(shù)單調(diào)性的圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。再由教師指圖說明，分析定義，使學(xué)生把定義與直觀圖象結(jié)合起來，加深了對概念的理解。

3.追求數(shù)學(xué)本真，突出思想方法。

數(shù)學(xué)教學(xué)要著眼于數(shù)學(xué)的思維價值和文化價值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，應(yīng)該成為“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課的一個重要教學(xué)目標(biāo)。“函數(shù)的單調(diào)性”的定義是對函數(shù)圖象特征的一種數(shù)學(xué)描述，它經(jīng)歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數(shù)學(xué)符號語言描述的進(jìn)化過程，這個過程充分反映了數(shù)學(xué)的理性精神。

“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計，以問題為背景，追求數(shù)學(xué)的本真，鼓勵學(xué)生通過活動，結(jié)合實(shí)驗(yàn)、觀察、思考、歸納、抽象、概括、運(yùn)用，力求使學(xué)生對現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出理性的判斷，鼓勵學(xué)生更注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念、方法與語言去提出、分析和解決問題。每一個發(fā)現(xiàn)總是想方設(shè)法盡量讓學(xué)生得出來，教師的作用是引導(dǎo)，在關(guān)鍵處導(dǎo)一導(dǎo)、推一推，打造出一幅“涓涓細(xì)流潤芬芳”的美好圖景，在師生對話中自然生成了“函數(shù)單調(diào)性”的概念。這種學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、帶領(lǐng)學(xué)生尋找解決問題的方法，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，符合建構(gòu)主義理論及其教學(xué)方法。

“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活而又服務(wù)于生活的意識，把豐富的生活感知和數(shù)學(xué)理性有機(jī)融合起來，讓學(xué)生感受到生活中有數(shù)學(xué)，體會到數(shù)學(xué)對自然與社會所產(chǎn)生的作用，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價值所在，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想和方法去觀察問題、研究問題和解決問題，掌握必要的思維策略，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光看世界。

（作者單位：江蘇省蘇州第十中學(xué)校）