函數教學應踩準三個著力點

【摘 要】函數是高中數學教學的一條主線，因其高度的抽象性，一直是高中教學的難點，為了真正把握函數的教學，必須在三個方面下功夫：必須使學生深刻理解并把握函數概念的本質；必須使學生正確理解和刻畫函數的圖象；必須使學生深刻理解函數的性質。

【關鍵詞】函數 函數教學 函數概念 函數圖象 函數性質

函數概念貫穿于中學數學的始終，利用函數知識、思想可以處理、解決很多數學問題。因此，多年來高考始終貫穿著函數及其性質這條主線，顯現出“函數熱”居高不下的態勢。函數問題具有較強的伸縮性，既可以以“容易題”出現，也可以“中檔題”“難題”形式出現，并多與其他問題聯系在一起。因此，函數是高中數學的基礎內容，也是重點與熱點。一方面，函數不但是數學研究的對象，同時也是數學中常用的一種思想方法，函數的思想廣泛地滲透到數學教學的全過程及其他學科之中，因此搞好函數的教學至關重要，另一方面，函數概念因為其高度的抽象性而成為最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學生的學，都存在困難，筆者認為，函數教學關鍵應抓住三個著力點。

一、必須使學生深刻理解并把握函數概念的本質

實踐表明，由于函數概念的抽象性、“變量”概念的復雜性以及函數符號的抽象性，函數概念是中學生感到最難學的數學概念之一。學習了集合理論后，教材運用集合與映射的觀點重新定義了函數：函數是非空數集上的映射。而映射是一對一、多對一的對應。于是在康托爾集合論的基礎上來理解函數，別有一片天地。之前的函數概念：在某一運動變化過程中有兩個變量x、y，當x在某一給定范圍內任意取值時，在某一對應法則f的作用下，y都有唯一確定的值與它對應，那么y就叫做x的函數，其中x叫自變量，x的取值范圍構成的集合就是定義域，y的對應值的集合是值域，這種運動變化觀點下的函數定義稱為傳統定義，而現在建立在集合與映射觀點之上的函數定義稱之為近代定義。

事實上，函數的本質是兩個變量之間的一種特殊的對應關系，有三個要素：定義域、值域和對應法則，通常可表示為f：A→C，A代表定義域，C代表值域，f指的是對應法則，函數就是建立在兩個非空數集A、C上的一種對應關系，有判別兩個函數是否表示同一函數的問題。如①

f（x）=x，g（t）=雖然表示自變量的字母不一樣，但因為g（t）=和f（x）=x的定義域和對應法則都一樣，因而值域肯定一樣，g（t）與

f（x）表示同一函數；②f（x）=，g（x）=x+2，兩函數雖然化簡后的解析式一樣，但因定義域不同，故不是同一函數；③f（x）=x，g（x）=這兩個函數，雖然定義域相同，但g（x）=x與f（x）=x的對應法則不同，也不是同一個函數。三要素中只要有一項不同就不是同一函數，這種題型有助于我們理解函數的本質。

對于一個具體的函數關系，我們首先要把握一個重要的原則，就是定義域優先。定義域是函數的一條生命線，在求函數值域，判斷函數的周期性或奇偶性時必須首先考慮函數的定義域。如求f（x）=loga（x2-2x-3）的單調區間，學生們常常會忽視定義域，有時在求解過程中還要注意定義域的變化。

例1.已知f（x+）=x2+，求f（x-1）。

錯解：由已知得f（x+）=（x+）2-2

∴f（x）=x2-2 ∴f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1。

剖析：在使用直接拼配法或換元法求函數解析式時，沒有考慮定義域變化。

正解：由已知得f（x+）=（x+）2-2，但x+≥2，∴f（x）=x2-2（x≥2），從而f（x-1）=（x-1）2-2=x2-2x-1（x≥3或x≤3）。

分段函數的學習更能幫助我們理解函數的本質，分段函數是一個函數而不是多個函數。

例2.求分段函數y=2x+3，x≥0x2-1，x<0的值域。

錯解：當x≥0時，y=2x+3≥3；當x<0時，y=x2-1，可得y>-1。故原函數的值域為：當x≥0時，值域為{y│y≥3}；當x<0時，值域為{y│y>-1}。

剖析：分段函數是借助于幾個不同的表達式來表示的，它是一個函數，而不能誤認為是幾個函數，在處理分段函數的問題時，要分段處理，其函數的值域應是各個分段函數的并集，同時各個分段的“斷點”要注意處理好。

正解：當x≥0時，y=2x+3≥3；當x<0時，y=x2-1可得{y│y>-1}，故原函數的值域為{y│y>-1}。

函數概念的學習是一個循序漸進的過程，為了切實使學生理解函數的概念，我們應當做到三點。

1.注重學生函數概念的心理建構過程。

建構主義教學理論認為，應把學習看成是學生主動的建構活動，教學應與一定的知識、背景即情境相聯系；在實際情境下進行教學，可以使學生利用已有的知識與經驗同化和索引出當前要教學的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。在函數概念教學中，可以適當采用引導討論，注重分析、啟發、反饋，先從實際問題引入概念，然后揭示函數概念的共同特性：（1）問題中所研究的兩個變量是相互聯系的。（2）其中一個變量變化時，另一個變量也隨著發生變化。（3）對第一個變量在某一范圍內的每一個確定的值，第二個變量都有唯一確定的值與它對應。同時從閱讀、練習中鞏固概念，再從討論、反饋中深化概念，讓學生自己完成從具體到抽象的過程，避免概念教學的抽象與枯燥，使學生深入理解函數的實質，從而讓學生較好地完成函數概念的建構。

2.注重函數概念與信息技術的適時、適度結合。

剛進高中的高一學生，思維較為單一，認識比較具體，注意力不夠持久，并且高中數學比較抽象，學生學習普遍感到困難，因此在教學過程中應創設一些知識情境，借助現代多媒體教學手段進行教學，讓學生在輕松愉快的氛圍中進行學習。應用信息技術時要根據教學需要、學生需求和課堂教學過程中出現的情況適時使用，并且運用要適度，掌握分寸，避免過量信息鈍化學生的思維。函數概念教學中，教師可以借助于幾何畫板、圖形計算器等現代教學工具輔助教學，鼓勵學生上機操作，觀察函數圖象的變化過程，引導學生交流與討論，更好地教學和理解函數。

3.注重函數概念的實際應用。

抽象的函數概念必須經過具體應用才能得到深刻理解，生活中許多問題都是通過建立函數模型而解決的，因此在函數概念教學中，可以通過函數性質比較大小、解不等式、證明不等式等活動加強理解，同時引入具體的函數生活實例，如銀行利率表、股市走勢圖，讓學生記錄一周的天氣預報，列出最高氣溫與日期的函數關系等。這樣學生既受到思想方法的訓練，又對函數概念有了正確的認識，使學生相應的數學能力得到充分的培養與發展。

二、必須使學生正確理解和刻畫函數的圖象

函數的圖象不僅是函數表示的一種方法，更是函數性質的外在表現，通過圖象可以幫助我們認清和理解函數的性質，教學中必須明確函數的圖象都是滿足一定條件的點構成的，本質上就是以x作為橫坐標，y作為縱坐標的所有點構成的曲線、折線或孤立的點。同時必須明確的是，并不是所有的函數圖象都是連續的或是光滑的，有的函數圖象就是由一些孤立的點組成的，甚至有的函數圖象根本就畫不出來（如狄里克雷函數）。

數形結合是一種重要的數學思想方法，其作用在此不作贅述，這里只強調作圖的準確性。

也就是說利用這種數學方法解題時，前提是圖象畫得必須正確。比如y=sinx，x∈（-，）和y=tanx，x∈（-，）的圖象不是左圖這樣的，而應如右圖所畫。如畫圖不準確，就會錯誤地得出解的個數為3。

三、必須使學生深刻理解函數的性質

平時必須注意函數性質的教學，舍得在函數性質的新授課上花時間，花精力。讓學生真正理解函數性質的定義，什么樣的函數才有這樣的性質，應用的條件和范圍等，下面以函數單調性的教學為例說明。

1.要使學生深刻理解單調性的定義。

在函數的單調性定義的教學中，必須盡可能地做到：（1）把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來加深對定義的理解，滲透數形結合的數學思想方法；（2）強調單調性是函數的局部性質，單調性是相對于給定區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性，不能說函數在x=5時是遞增的還是遞減的，在強調局部性的時候也不排斥有些函數在其定義域內都是增函數，也就是說并不是所有函數的單調區間都不能以并集的形式寫的；（3）厘清定義中的“任意”和“都有”的含義，強調“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的單調性，而“都有”則是說只要x1

2.要使學生厘清函數的單調區間與函數在某一區間單調的區別。

例3.函數y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調減函數，求a的取值范圍。

錯解：因為函數y=x2+2ax+1在x∈（-∞，1]上是單調減函數，所以-a=1，即a=-1。

剖析：錯把函數在x∈（-∞，1]上單調遞減理解為函數的單調區間是（-∞，1]，事實上，當a≤-1時，函數y=x2+2ax+1在（1，-a]上也是單調減函數。函數在某一區間單調與函數的單調區間不要混淆。

正解：函數的對稱軸為x=-a，因為函數在x∈（-∞，1]上是單調遞減函數，所以a≤-1。

3.注意復合函數的單調性。

例4.求函數y=cos（-2x）的遞增區間。

錯解：由2kπ-π≤-2x≤2kπ（k∈z）解得-kπ+≤x≤-kπ+π（k∈z）

∴y=cos的單調遞增區間為-kπ+，-kπ+π（k∈z）。

剖析：解法忽視了復合函數的單調性規則。

函數的其他性質的教學，原理同上。

如果我們在平時的教學中，能把握以上三個著力點，那么函數這座堡壘就能輕易攻破。

【參考文獻】

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[2]劉權華.函數問題常見錯誤剖析[J].高考，2006（12）

[3]陳蓓.函數概念的發展與比較[J].數學教學通訊，2005（2）

[4]劉權華.函數學習的三大紀律八項注意[J].新高考，2012（6）

（作者單位：南京市教育科學研究所）