談談數學課堂教學中的預設和生成

【摘 要】預設與生成是辯證的對立統一體，高中數學課堂教學離不開預設，同時也需要生成。預設是課堂教學成功的前提，生成則是課堂教學成功的關鍵。在數學課堂教學中需要靈活處理預設與生成的關系。

【關鍵詞】預設 生成 課堂教學

完成任何事情首先需要做一個計劃和方案，數學課堂教學也不例外，課前需要備課寫教案，還要準備學案，設計課件。一節好課與教師周密的教學設計是分不開的。但時常也會出現這樣的情況：有好的預設，不一定能帶來好的效果，原因很簡單，因為課堂教學是師生之間的互動，是人與人之間活生生的對話，課前誰能完全預設到學生的所思所想呢？

先來看本人經歷的一個教學案例。

君如是一個愛提問題的學生，幾乎每堂課上他都會打斷我搶上前來問幾個為什么：“老師，你說兩個相交圓的方程x2+y2-10x-15=0和x2+y2-15x+30=0之差便是它們公共弦所在直線的方程，如果兩個圓是相離的，得到的直線方程又表示什么呢？這條直線有什么幾何意義？”

對于君如提出的問題，我都會詳盡地告訴他解決的要領和思路，恨不得把自己的一桶水都灌給他，可以說是誨人不倦，以盡一份教師的職責。但他也常常會打亂我原先的教學計劃，甚至有時還會讓我“掛黑板”呢！前不久，君如又在課堂上將了我一軍。

當時我正有條不紊地講解這樣一道例題：設復數z滿足z-i=1，z≠0，z≠2i，又復數ω使得·∈R，問復數ω在復平面上所對應點的軌跡是什么？

我正在按部就班地講解，突然他打住了我的話說：“老師，請你先聽我講。”我感到驚詫，但還是耐住性子聽聽他的分析：“∵z-i=1，∴z對應的點在以A（0，1）為圓心、半徑為1的圓上（如圖1所示）。”

這一想法與我的思路不同，我原是準備從z∈R？圳z=z出發來求解的，這需要比較繁瑣的運算，看來君如并不滿足此道，他是從幾何意義出發來考慮的，確實是另辟蹊徑。于是我和同學們一起耐心地傾聽君如的分析：O（0，0）、B（0，2）是圓的直徑的兩個端點，那么這對于意味著什么呢？它是一個純虛數。君如興奮起來，立刻說：“也必定是純虛數。”我看著他，他補充說：“也可以是0，即有可能ω=0。”君如接著說：“若是純虛數？圳+=0，由此便不難得到ω所對應點滿足的軌跡方程了。”

“既然可以由z在以OA為半徑的圓上，知道是一個純虛數，那么知道了是純虛數，ω所對應點又有什么特征呢？”我順著他的思路反過來向他提出了問題。

君如自言自語：“ω所對應的點不可能在圓外，也不可能在圓內，對！ω對應的點一定在以OA為半徑的圓上。”至此，我們另辟蹊徑共同探討得到了問題的解。這種方法比我原來的要簡便得多了。

我在想，作為一個教育工作者，在學會傳授的同時，還需要學會傾聽、學會對話。師生之間的交流也是心靈開化的過程。人由蒙昧到覺悟、由混沌到開化，總有一個過程，教育工作者決不能因為學生暫時的不覺悟、不開竅就喪失信心、失去耐心，更不能為了早日讓學生醒悟，不惜違背教育規律拔苗助長。

教學不僅僅是一種告訴。教學就是要組織和引導學生重新去經歷知識形成的過程，讓知識恢復生命，讓課堂充滿活力。教學過程的發展具有開放性和靈活性，并不是完全預定、不可更改的，教師的權威不僅體現在知識的傳遞中，更體現在與學生共同開展的探究知識的過程中。

于是，我獲得了這樣的感悟：創造力不是教出來的，它是各種因素碰撞后靈感在實踐中的閃現，有時顯得那么“隨意”和“偶然”。教師教，學生照著做，充其量只是模仿。只有放手并鼓勵學生勇于探索、用心體驗，允許他們率性而為，寬容他們的失敗，才能跨越模仿，走上創造之路。

課堂教學當然需要周密的設計，但這種預設不能完全替代課堂上智慧的碰撞和交流，因為知識是豐富的，方法是靈動的，學生的思維更是百花齊放的，因此我們在做課前的教學設計時，不僅要備知識，備方法，更要備學生，要留有余地，甚至讓出空間給學生交流、展示、質疑、碰撞。這樣的碰撞感覺似乎是無序的，或許也不在教師的備課范疇中，但恰是十分有益的，因為學生真正投入其中，并能主動地、智慧地探索研究，這才是真正有效的學習活動。

著名數學大師華羅庚先生在回憶他的導師時特別推崇美國數學教育家維納（Wiener）。維納講課很吸引人，他將科學研究中的思想和方法要點原原本本地告訴聽課者，他既是在講課也是在指導研究，使學生很受啟發。他講課的內容有的是以前的研究成果，有的就是他正在從事的研究課題。當他講解新課題時，給聽課人造成這樣的感覺：似乎他沒有備過課，講課時鋌而走險，使人擔心這樣一位學者會“掛在黑板上”，但隨著問題解決的逐漸深入，就像是扎實的研究工作從書桌搬到了黑板上，不但教了內容，更主要的是教了科學的思維方法。維納的教學方法反映了一種教學民主的思想，這主要體現在師生的共同投入和參與，這對我們今天的數學教育和課堂教學也是很有啟迪的。

目前在數學教學中教師在課堂上往往只給正確的、也是很絕妙的解答，缺少思維的暴露過程，讓學生錯誤地感覺數學似乎是自然而成，從天而降。教師在課堂上注重結論的傳授和方法技巧的運用，一味地追求功利，削弱淡化了本應具有的數學味。問題是從哪里開始的？又是如何一步步經歷挫折走向成功的？學生不得而知，數學變得更像是一門藝術、一項魔術，而不像是科學了。造成這些現象其中一個重要的原因是教學中一味遵循知識的條條框框，固化了課堂教學設計。因此我常常在想，教師在課堂上組織教學不可忽視的一個重要環節是向學生交代清楚：為什么這樣做？開始是怎樣想的？為什么會挫折失敗？又是如何分析轉化的？一方面讓學生看到教師的思維過程，另一方面使教師了解學生的思維過程。如果我們能在課堂上再現知識形成、發展的全過程，教學生如何去創造，讓學生經歷一番從失敗到成功的磨礪，這不僅有利于教學，對學生在今后的工作中開拓進取、創造新的知識和方法也是很有借鑒作用的。有人說好的先生不是教書，而是教學，教學生如何學，教學生如何做，這是很有道理的。

記得諾貝爾物理學獎獲得者李政道先生回母校蘇州中學時，給學生的寄語講了十二個字：“做學問，要學‘問’，光會答，非‘學問’。”教學生會“問”，那么在課堂上學生會問什么？這往往是不能預設的，唯有騰出空間把屬于學生的時間留給學生，相信學生就會有許多許多的問題展現出來了，而這更應是教師在教學過程中必須回應的，也可以促使課堂教學更加有的放矢、切實有效。

曾經在華東師范大學全國骨干教師培訓期間聽了中美兩國數學教師的兩節同題課，所教的內容都是二次函數。將這兩位不同地域不同文化背景的老師的教學過程作一比較和對照，不難發現他們教學處理的出發點和立足點是有很大差異的。

美國教師立足于學生感興趣的問題，關注學生獨立思考或小組活動，教師很講究“何時介入”，強調學生的參與，培養學生獨立探究的能力和氣質。中國教師立足于對教材的感知，注重利用已有的知識和經驗逐步過渡，教師在不間斷地引導，強調知識的構建，要求學生系統牢固地掌握基礎知識和基本技能。

正是這樣的差異，美國的教師在課堂上更關注的是學生，課堂上有時顯得“雜亂無章”，但隨著學生的問題一個個提出又解決，新的知識也逐漸構建起來，并內化為學生的素養。而中國的教師更關注的是知識體系，課堂上有條不紊，循序漸進，知識內容也多于美國教師的課，但總體感覺中國教師的展示成分更多，學生只是配角。

我們的課堂教學普遍存在著這樣三個問題：（1）學生的活動完全由教師調控和支配，教師可以隨時打斷學生的思考和討論；（2）課堂上的提問也是完全在老師的主導之下，以低層次的推理性、記憶性問答為主，目的是檢查學生是否接受了；（3）課堂的例題講解或習題安排是以小步、多練、勤反饋為原則，也是在低層次上反反復復，缺乏個性和創意。在教學過程中，教師到底應該扮演怎樣的一個角色？他既是教學的組織者，也是研究的開發者，同時又要營造一個寬舒、和諧、民主的環境，使得教學行為趨于多重整合，教學設計也需要更多的彈性和張力。

數學教學過程中出乎教師的預期和計劃，教師應當及時應對和調整。這種情況不僅表現在學生提出質疑時，在學生接受新的概念和方法時往往也會因為師生知識背景的差異而需要及時應變和調整。以下是本人教學中的另一個案例：“正態分布”概念的教學。

這節課的教學設計原本我是這樣安排的：先給出一組數據，并列出頻率分布表及直方圖，之后作出概率密度曲線，然后引入正態分布函數表達式P（x）=e，x∈R，接著準備重點講解正態密度曲線圖象的特征和性質，以及正態分布狀態下有關給定區域內概率的計算問題。

正在我津津樂道地分析講解特征和性質時，有不少學生在下面小聲議論：“這些數據是老師選好的，人為創造了這個正態分布曲線。”“是呀！日常生活中哪可能有這么有規律的數據啊，我可有點半信半疑。”

是啊！學生的這些疑問是有道理的，因為任何一個規律的得來都應當有一個感知體驗的階段。于是我果斷停止了原來的教學安排，設計了以下教學活動：

（1）將班級52位同學的身高分布做一個統計；

（2）將統計結果用分布直方圖的形式表示出來（如圖2所示）；

（3）進一步將組距縮小，用光滑曲線連接這些直方圖的頂點得到了一條神秘的曲線（如圖3所示）。

這時“正態分布”的雛形就出現了，學生對前面的分析講解也有所體悟并能理解接受了。盡管這節課沒有完成原先的計劃和任務，但是更好地向學生交代清楚我們為什么要學習這些內容？學了這些內容有什么用處？將知識的背景與現實的聯系以及其應用價值講清理透還是很有必要也很有價值的，從而可以讓學生體會到世界上萬事萬物千變萬化，但也有規律可循，所謂科學研究就是要探索研究掌握并應用這些規律。其中像以上正態分布它揭示了自然界隨機變量的統計規律，研究它的重要性可想而知。

反觀當前數學課堂教學的現狀，學案、課件的使用已變成了一種時髦，無論是平時的教學，還是各級各類的評課觀摩活動，這樣的程式化教學已成為了一種習慣和范例。的確，學案或課件的使用是現代化教學設施和手段使用過程中的必然趨勢，但是事物往往具有兩面性，現代教學手段的普遍使用一方面大大提升了教學容量，豐富了傳授方式，但同時也容易帶來兩個問題，一是教師本應有的示范過程及師生的溝通交流被機器替代了，課堂顯得“冷冰冰”的，缺少了情感交流；二是教學變得程序化，機器主導了教學過程，來不得半點越軌和突破，被預設的條條框框限制了，知識被固化，流程也僵死了。因此有必要加強研究，促使課件及學案與整個課堂教學更合理、更和諧地整合在一起，形成一個厚重而不乏靈動的整體。我們認為在教學設計過程中，既要重視預設，精心備課，更要關注生成，及時應變和調整，一切從課程的需求和學生的發展出發來組織教學。

綜上所述，高質量的預設是課堂教學成功的前提。通俗地講，預設就是我打算怎樣來上這節課，教師行為上表現為備課。教師在課前必須對教學目標、任務、過程有一個清晰、理性的思考和安排。否則，課堂教學就會雜亂無序，重點不能突出，難點不能突破，達不到預期的教學目標，課堂的教學效率就會降低，甚至嚴重影響教學質量。而動態生成則是課堂教學成功的關鍵。學生的差異性和教學的開放性使課堂呈現出豐富性、多變性和復雜性。教學活動的變化發展有時和某種教學預設相吻合，更多的時候兩者是有差異的，甚至是截然不同的。教學不再按照預設展開，教學將面臨嚴峻的考驗和艱難的抉擇。這就需要教師根據實際情況靈活選擇、整合乃至放棄原有的教學預設，機智生成新的教學方案，使靜態的預案變成動態的、富有靈性的實施方案。但如果教師視預設為法，不敢越雷池半步，就有違“教學過程是師生交流、動態生成的過程”的教學理念了。

（作者單位：江蘇省蘇州中學）