猜測有依據 估計有范圍

師：小球能滾動出我們熟悉的圖形，猜一猜哪個小球行的路程長一些？（課件演示小球滾動成正方形和正六邊形，如圖1）

[邊長8厘米][邊長4厘米][圖1 圖2]

生：正方形里小球行的路程長一些。

師：你是怎么猜的？

生：因為正方形的周長是32厘米，正六邊形的周長是24厘米，正方形的周長長些。

師：小球行的路程分別是這兩個圖形的（生：周長）。一算周長就知道了。

師：小球繼續滾動（課件演示小球滾動成圓，如圖2），這次小球行的路程是圓的（生：周長）。（揭示課題：圓的周長）

師：誰來指一指這個圓的周長？（生指周長）

師：圍成圓的這條曲線的長就是圓的周長。有辦法知道這圓的周長嗎？同桌商量商量。

生1：用膠帶紙貼在圓的周圍，然后再量出膠帶有多長，膠帶的長度就是圓的周長。

生2：用一根鐵絲彎成和這個圓一樣大的圓，然后把鐵絲拉直，再量出鐵絲有多長。

評析：這一環節通過猜哪個小球行的路程長一些的游戲，激發學生的學習興趣。這里讓學生計算正方形和正六邊形的周長后再進行猜測，是一種有依據的猜測。這樣做不僅復習了舊知，又為后面溝通這三個圖形之間的聯系和猜測圓的周長和直徑的關系作好了鋪墊。另外，這一環節將“周長”這一抽象的概念，通過小球滾動形象地展現出來，使學生印象深刻。

師：你們的方法都是先把圓的周長這條曲線，化曲為直后再測量出圓的周長。還有其他方法嗎？

生：（一個學生激動地站起來）我知道，量圓的直徑，用圓的直徑乘以3.14就是圓的周長。

師：你是怎么知道的？

生：看書。

師：你真會學習，預習是很好的習慣。那你知道為什么這么做嗎？（生搖頭）咱們一起來研究，好嗎？

生：（齊）好。

師：看圖（如圖3），正方形的周長與它的什么有關？

[邊長8厘米][邊長4厘米][圖3]

生：正方形的周長與它的邊長有關，正方形的周長等于邊長乘4。

師：也就是正方形的周長是邊長的4倍。正六邊形呢？

生：正六邊形的周長是邊長的6倍。

師：那圓的周長與圓的什么有關呢？

生1：跟圓的大小有關，大圓周長長，小圓周長短。

生2：跟圓的直徑或者半徑有關，因為圓的大小是由半徑或者直徑決定的。

師：（課件出示大小不同的兩個圓，并畫出圓的一條直徑）是的，直徑長的圓，半徑也長些，圓也大些，周長也長一些。

師：（課件演示周長和直徑分別閃動）猜一猜圓的周長可能是直徑的幾倍？

生1：2倍。

生2：2倍多。

生3：4倍。

生4：3倍。

評析：由正方形和正六邊形的周長與它們邊長的倍數關系，過渡到猜測“圓的周長與圓的什么有關”“圓的周長可能是直徑的幾倍”，順利實現知識遷移。這里猜測圓的周長是直徑的幾倍，只是一種憑著直覺進行的猜測，缺少有力的依據支撐，但猜測并沒有結束。

師：（課件演示如圖4）車輪滾動一周的長度是圓的周長嗎？

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圖4

生：是。

師：再猜一猜這個圓的周長可能是直徑的幾倍？

生：我可以這樣來猜，（走上講臺用膠帶量了直徑的長度，又在線段上量了三次）我覺得周長應該是直徑的三倍多一點。

評析：這里猜測圓的周長是直徑的幾倍，已經有了直觀的依據，學生可以動手測量，直接猜測出來，但猜測并沒有就此結束。

師：真聰明，會想辦法。會不會出現剛才同學們說的2倍或者4倍的情況呢？我們可以借助學過的圖形來推測。

師：（課件出示正方形并演示圖5）我們以正方形的邊長為直徑畫出一個圓，比較圓的周長與正方形的周長，你發現圓的周長一定小于直徑的幾倍？

圖5

生：圓的周長小于直徑的4倍。

師：你是怎么猜的？

生：因為正方形周長是邊長的4倍，而圓的周長比正方形的周長短，直徑等于正方形的邊長，所以我推測圓的周長小于直徑的4倍。

師：圓的周長一定小于直徑的4倍，到底小到什么程度呢？我們再請出正六邊形。（課件演示轉動正六邊形的兩條邊到中間，如圖6）這條線段長幾厘米？我們再以這條線段為直徑畫一個圓，比較圓的周長與正六邊形的周長，你發現圓的周長一定大于直徑的幾倍呢？

[4厘米][4厘米][4厘米][8厘米][4厘米][8厘米]

圖6

生：正六邊形的周長是24厘米，是圓直徑的3倍，而圓的周長大于正六邊形的周長，所以圓的周長大于直徑的3倍。

生：我發現圓的周長在直徑的3倍和4倍之間。

師：你們也發現了嗎？（課件演示三圖重疊，如圖7）這樣我們就更能看出圓的周長在直徑的3倍到4倍之間了。

[4厘米][8厘米]

圖7

評析：這里的猜測不只是單純的直觀猜測，更需要學生進行深入思考、合情推理。通過將圓的周長與正方形和正六邊形進行比較，讓學生有依據地去猜測。通過多媒體動態演示三圖合一的過程，將學生的思維引向將三圖聯系起來進行推理，從而合理估計出圓的周長與直徑的倍數范圍。這是更高層次的猜測。

師：是不是所有圓的周長都在直徑的3倍到4倍之間呢？（課件演示三圖同時放大或縮小，如圖8）這個倍數會變化嗎？

圖8

生：這個倍數不會變化。因為放大或縮小以后，圓還是在正方形和正六邊形之間，正方形的邊長還等于圓的直徑，正六邊形兩條邊長的和等于圓的直徑。所以，所有圓的周長應該都在它直徑的3倍到4倍之間。

師：看來所有圓的周長都應該在它直徑的3倍到4倍之間，而且這個倍數也是不變的。這只是我們的猜想和推測，還需要進行驗證。

評析：這里將三圖同時放大或縮小，引導學生分析放大或縮小后的圖形的周長與圓直徑的關系，從而將這一研究發現推廣到所有的圓，使學生的推理能力得到進一步提升。

反思：

猜測和估計都是依據已有經驗和事實而進行的一種推理，是一種有根有據的合情推理。大數學家高斯也認為，在某些情況下，教猜想比教證明更為重要?！稊祵W課程標準》明確指出：“使學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理、清晰地闡述自己的觀點?！毙W生的猜測和估計往往受制于已有經驗和知識水平，因而隨意性較大。如果不加引導，容易造成學生毫無根據地“亂猜”“瞎估”，養成“信口開河”的壞習慣，從而失去猜測和估計的意義。

通常，《圓的周長》的教學首先是認識圓的周長，然后通過測量圓的周長和直徑并計算周長除以直徑的商，再推導出圓的周長計算公式，缺少了猜測和估計的過程。本節課在這方面有所加強，注重培養學生有根據地去進行猜測，有范圍地去進行估計。通過四個層次的猜測，培養學生合情推理的能力。第一個層次，憑著直覺，缺少有力依據支撐的猜測；第二個層次，有直觀的依據，學生可以通過測量，直接猜測出結果；第三個層次，以直觀圖為依據，需要學生進行深入思考，合情推理，估計出范圍；第四個層次，仍然以直觀圖為依據，進一步拓展思維，由個別推廣到一般。這四個層次層層遞進，把學生的思維逐步引向深入，有效地培養了學生的合情推理能力和演繹推理能力。</