螺旋上升：讓教學更符合學習規律

這是一位教師在執教《與0有關的乘法》一課時的片段：

通過前10分鐘左右的學習交流，學生理解了“0與任何數相乘都得0”的意義，進入到計算應用階段。呈現材料：5個書架圖；告知信息：每個書架可以放130本書；提出問題：一共可以放多少本書？學生獨立完成后反饋。（如左下圖）

交流筆算過程后引導：還有不同的筆算方法嗎？沒有學生回答。無奈之下教師直接呈現如上右圖的算式，組織學生討論：是否可以這樣筆算？

本環節的教學目標是引導學生將新知“0乘任何數都得0”應用到乘法運算中，初步體會“0”在乘法運算中的特殊性。以上實踐過程中，教師對環節目標的理解是正確的，但其希望一步到位解決簡算格式的書寫問題，顯得過于倉促。從課堂反應來看，學生缺少足夠的“與0有關的乘法”計算體驗，很難想到“因數末尾有0的乘法”可以這樣簡算的。我們知道，新課程背景下的課堂教學突出的是“以學定教，順學而導”的教學理念，強調“螺旋上升”的設計要求與實踐策略。教學過程不提倡“一步到位”，而是放慢節奏，根據學生的學習狀況，創造學生需要幫助的氛圍，在學生認知發展的關鍵節點處給予適時適度的引導，從而幫助學生實現對知識的良好建構。以下，筆者就“螺旋上升”的內涵、價值及實踐策略作一定的剖析。

一、“螺旋上升”的內涵及其對數學教學的指導意義

“螺旋上升”這一概念出自哲學中的“螺旋式上升”，它是對事物發展進程的形成描述，意指事物因內部矛盾而引起的從低級到高級、從簡單到復雜的曲折前進的運動方式。這種運動方式最大的特點是具有周期性，當然這種周期性并不是簡單的重復，也不是從一個起點回到了原來起點的周而復始的循環，而是每一個周期的終點同時又是下一個周期的開始，從而出現了螺旋式的上升運動。“螺旋上升”對小學數學教學實踐有著重要的指導意義。

1.數學教材內容的編排體現著“螺旋上升”的特點

以“小數的概念”學習為例，與之配套的各類課標實驗教材均安排在兩個時間段內學習。如人教版教材，第一學段三年級下冊編入“小數的初步認識”（課題《認識小數》）；第二學段從四年級下冊起系統認識小數（課題《小數的意義》）。三年級下冊的《認識小數》，目標是引導學生“結合具體情境解釋情境中某個具體小數的含義”，喚醒學生經驗中的“小數”（如人民幣單位、長度單位間的進率），初步感知小數與分數間的聯系。四年級下冊《小數的意義》一課，很顯然已經將三年級下冊《認識小數》一課喚醒的經驗及習得的方法作為進一步理解小數本質意義的起點了。雖然同樣有一定的情境作支撐，但其學習過程中重點在于建立起“小數是十進分數的另一種表示形式”的本質概念，即“一位小數表示十分之幾的分數，兩位小數表示的是百分之幾的分數”……這樣的編排，充分體現了數學知識“螺旋上升”的設計特點。

2.小學生的認知特點，需要“螺旋上升”的教學引領作支撐

研究表明，兒童對數學知識的理解和掌握的過程，正是一個從低級到高級、從簡單到復雜、從直觀到抽象的曲折過程，其能力發展的每一步都以前一步為基礎。因此，我們的教學需要準確把握學生知識結構的關鍵節點，讓新的學習周期能夠在恰當的起點上開始，從而幫助其順利完成新的學習任務。例如，在學習解決“紅花有13朵，比黃花少4朵。黃花有多少朵”此類問題時，我們可以結合孩子的生活經驗和認知特點，將最初的解題思路建立在實物操作的層面上進行；當孩子積累了一定的實物操作經驗后，便可以引導孩子以圖示的方式（如符號圖、線段圖等）來分析此類問題，提高認知水平；而當孩子對文字與圖示之間建立起比較豐富的經驗聯結之后，我們的教學便可以引導學生直接通過對文字的理解來解決。這樣的學習路徑設計，不管需要分解為幾個階段進行，其教學組織方式都具有典型的“螺旋上升”特點，應該成為小學數學課堂教學的基本實踐策略。

二、基于“螺旋上升”設計理念的課堂教學實施要點

“按照兒童的認知規律和數學知識的內在聯系”“由淺入深，由易到難，循序漸進，螺旋上升”是課堂教學實踐中的基本原則。那么，如何在一節課的教學中把“螺旋上升”的實踐理念體現出來？操作中又該把握哪些方面的基本要素？以下筆者結合《與0有關的乘法》一課的設計及實踐，談一些粗淺的看法，供大家參考與探討。

1.梳理層次，明確教學關鍵點

一節課的教學設計，從教學內容的角度來體現“螺旋上升”的設計理念，需要思考幾個基本問題：本節課的主要內容是什么？貫穿整節課的主線如何確定？教學環節的層次怎樣體現？過程推進中的關鍵節點在哪里？等等。以《與0有關的乘法》一課為例，我們試著圍繞這些問題進行一定的分析。

根據北師大版數學三年級上冊的教材編排情況，《與0有關的乘法》一課的教學內容可以分為四個層次。

層次一，理解“0乘任何數都得0”的意義，這是本節課的重點內容之一，是本節課后續內容學習的基礎；層次二，將“0乘任何數都得0”的結論應用于乘法運算，初步體會“0乘任何數都得0”的實踐意義；層次三，重點學習“與0有關的乘法”的計算方法，初步習得計算技能；層次四，經歷“因數末尾有0的乘法”運算方法的簡約化過程，掌握一定的計算技巧。

從以上四個學習層次的定位來看，本節課以“與0有關的乘法”內容學習為主線，在對“0”在乘法運算中的特點逐步認識、理解的基礎上，習得計算技能，掌握運算技巧。四個層次的學習關鍵點相當清晰：層次一是“0乘任何數仍得0”的意義理解；層次二是體會“0乘任何數都得0”的應用價值；層次三是“與0有關的乘法”計算技能習得；層次四則是當因數末尾出現“0”時的乘法運算技巧的體會與掌握。每前一個層次都是后一個層次學習的基礎，后一個層次均是前一個層次的進一步提升與完善。環環相扣，螺旋推進。

2.深度解讀，厘清教學重難點

以“螺旋上升”理念設計一節課的教學，除了從教學內容的角度來分析內容層次之外，還有一個重要任務是需從學習者的角度來厘清學生學習過程中的重難點。我們知道，一節課的教學重點往往是基于教材內容確定，以教學目標的方式體現。教學難點則是基于學生自身的學習能力而定，反映的是教學目標與學生認知水平之間的差異狀況。教學中，教學重點的落實一般貫穿于整堂課教學的始終，教學難點的解決有時只出現在課堂教學的某個環節。因此，以“螺旋上升”的理念來設計學習路徑的關鍵，當然在于厘清教學重難點的基礎上，合理分解教學重點，逐步解決學習難點。

《與0有關的乘法》一課，其總體教學目標是理解“0乘任何數都得0”的意義及其應用。因此，教學重點毫無疑問是理解“0乘任何數都得0”的意義，并且能夠運用此結論進行相關的乘法運算，掌握基本方法。從學生知識基礎和認知能力出發去分析，教學難點則有兩個：一是“因數中間有0的乘法”計算技能的理解與掌握，二是“因數末尾有0的乘法”筆算技巧的理解與習得。這是由于學生在以前的筆算乘法中，沒有碰到過“0”的參與，處理計算結果時，沒有用“0”占位的經驗。因此，學生對結果中出現“0”占位或者需用“0”與進上位的數相加的情況處理不適應，對“與0有關的乘法”運算技能的掌握造成一定的障礙。另外，對于“因數末尾有0的乘法”筆算技巧的理解與習得，則更多是因為現階段乘法運算數據較小，學生無法真正感受到簡算的必要性，造成簡算技巧較難探究成功。

當然，同樣作為教學難點，其性質卻不太一樣。對本節課而言，“因數中間有0”的乘法計算中，“0”與相關數相乘后的結果處理是學生必須掌握的基本運算技能。因此，這個學習難點是本節內容教學重點的重要組成部分。而“因數末尾有0的乘法”筆算的簡寫則不同，它并不是一種簡單的計算技能，而是一種計算技巧。技能是一種技術方法的基本能力，技巧則為一種技能基礎上的巧用、妙用。從這個意義上說，技巧不掌握，不會影響到問題的解決。因此，這個教學難點可以不作為本節內容的教學重點。

顯然，學會“因數中間有0的乘法”的計算方法是這節課的基本要求，習得“因數末尾有0的乘法”的計算技巧則是運算方法要求上的提升。基于“螺旋上升”設計理念的課堂教學，當然需要恰當處理作為基礎性知識的“與0有關的乘法”計算方法的教學，與作為延伸目標達成的“因數末尾有0的乘法”計算技巧的學習兩者之間的關系。

3.逐步提升，落實學習生長點

“螺旋上升”作為一種周期性運動方式，在課堂教學中可以把其變化中的起點與終點當做學生的學習生長點。體現“螺旋上升”理念的課堂教學，必須把握學生的學習生長點，尊重學生“學”的基礎，找準學生每一個學習階段“學”的起點，引導學生積極參與學習活動，在不同的學習環節中順利實現教學目標。《與0有關的乘法》一課的教學，同樣需要考慮每個環節學習生長點的落實。

環節一：理解“0乘任何數都得0”的意義。

本環節的學習起點是學生已有的解決乘法問題經驗和“一個也沒有就是0個”的生活經驗。因此，教學設計可以從情境出發，組織學生學習。

起始情境：呈現5個盤子，每個盤子里擺3個蘋果。問題：共幾個蘋果？學生借助解決問題經驗，得到算式3×5，“5個3”結果是15個。

變化情境：盤子數不變，蘋果數減少，每個盤子里擺2個蘋果，得到算式2×5，結果是10個。繼續變化情境：每個盤子里擺1個蘋果，得到算式：1×5，結果是5個。最后變化成：每個盤子里不擺蘋果，得到算式0×5，學生根據生活經驗“一個也沒有就是0個”得出結果為0，理解“0乘5得0”的意義。

接著進行強化：盤子數增加到6個，得到算式0×6，結果也是0；增加到7個，得到算式0×7，結果還是0；減少到4個，得到算式0×4，結果也是0……充分理解“0乘任何數都得0”的意義，完成本環節的學習。

環節二：“0乘任何數都得0”結論的運用。

本環節是“0乘任何數都得0”結論的首次運用。教學時，仍然結合具體情境展開，便于學生繼續利用生活經驗解釋算理。情境：5個書架；信息：每個書架可以放130本書；問題：一共可以放多少本書？

學生根據解決問題的經驗得出算式：130×5，并獨立計算，寫出筆算過程（如下圖），并請說明計算過程。利用前一環節的經驗，重點解讀“0乘5得0”的意義，體驗解決乘得的“0”的書寫位置，體會“0”在計算過程中的特殊性。因為是“0乘任何數都得0”結論的第一次運用，不應強求學生出現簡寫。

環節三：學習“因數中間有0的乘法”筆算方法。

針對上一環節中學生初次體會了“與0有關的乘法”運算經驗，由學生嘗試計算式題402×3，107×8。此時，學生已經有了筆算130×5時“積中‘0’的占位”經驗的積累，學習起點已經較首次運用高，應該有處理“因數中間有0的乘法”結果中“0”的占位的可能性。當然，本環節新的生長點則是在計算“因數中間有0的乘法”時，需要處理兩種情況：一是不進位時的處理，二是進位時的處理。如402×3為不進位處理，個位上的2與3相乘后得6，直接記在個位即可，算十位上的0與3相乘時，因為0乘3仍得0，即直接在十位上寫上0即可，再進行百位上的數與3相乘。而107×8則不同，個位上的7與8相乘得56，個位上是寫6，還有一個5需要向十位上進，此時，十位上的0乘8，便不能因為仍得0而只在十位上寫上0，它需要與個位上相乘后進上來的5個十的5相加，得5，在十位上記上5，然后才能進行百位上數字的計算。這兩種情況都屬于乘法運算中的基本計算技能，以后不管是幾位數乘幾位數，只要某個因數中間有0，甚至有的因數中間有多個0，其基本的計算過程都是這樣的。因此，這里的知識生長點，對于學生來說是必須掌握的，是其計算能力提高的基礎。

環節四：探究“因數末尾有0的乘法”運算技巧。

本環節教學是在學生基本掌握了“與0有關的乘法”計算方法的基礎上進行的，學生的學習起點相對較高。因此，“因數末尾有0的乘法”計算技巧的學習可以作為練習的一部分進行。

請學生嘗試計算式題：120×7，1200×7。如果學生在試算過程中，仍然沒有出現簡寫現象，則繼續在第一個因數的末尾添上0，變成12000×7，甚至120000×7，請學生試算。運算技巧的發現與提煉，需要激起學習者探究方法的欲望，然后通過一定的經歷和體驗獲取。應該說，此時運算技巧的發現，不僅是一種簡單的計算方法的探究，它已經成為一種心理體驗基礎上的方法優化。此時的學習生長點，不僅是知識層面的發現與習得，同時也包含了思維層面發現規律、表述規律方式的探究成分了。

至此，本節課的教學任務得以順利完成。？筻