數學史與數學教學的融合：HPM的理論基礎與實踐方式

在近幾年的數學教學領域，HPM逐漸為人們所熟知。HPM是英文History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，擁有兩個方面的涵義：一個是指在國際數學教育會議上專門討論數學史和數學教學融合的研究團體[1]，一個則是指這個團體的研究對象——數學史如何與數學融合在一起共同促進學生的發展。這樣一個研究團體從1972年第二屆數學教育會議成立以來，一直沒有間斷活動，可見其十分重要，對其理論基礎和實踐策略的討論就具有重要的意義。

一、數學史與數學教學的融合

學者指出，數學史在我國作為一門獨立的學科在近幾十年來有了長足的發展，但是數學史的研究頗有孤芳自賞的味道，很少關注社會的需要。然而，數學史學術研究的目的，最終一定要為滿足社會需要服務，包括教育需要。如何能夠讓整個數學界都來重視數學史，特別讓師生滲透到廣大數學教育領域，是一個非常重要的問題。

簡單來說，數學史就是研究數學生成和發展的歷史，大體上分為“內史”和“外史”的研究[3]，“內史”考察數學理論成果的歷史形態和歷史軌跡，包括數學成果產生的年代、最初的形態和后來的演變、創立者的貢獻、數學成果的傳播等，“外史”則是內史的拓展，以考察數學發展與社會生活各方面的關系為主，包括數學發展與哲學、科學技術、經濟、軍事、宗教等方面的關系，數學事業的發展，數學教育等。

所謂數學史與數學教學的融合，就是在數學教學中，根據教學目的和教學進程的需要，將數學史有機地融入到教學過程中，促進學生掌握數學概念、方法和思想。概括來說，數學史融入數學教學，具有如下意義。

1.讓學生學習有文化的數學。在數學教學中，有機地融入數學史，讓學生看到數學在人類文明進程中的產生、發展和影響，就會使學生認識到，數學并非是冷冰冰的數字關系和理性思維，而是人類發展歷程的一部分，是人類璀璨文化的重要代表，從而在學習數學的同時，獲得文化的熏陶。

2.加深學生對數學概念、方法的認識。數學最為基本的知識就是數學概念和方法，這些知識恰恰因為其抽象性讓很多學生對之望而卻步。在數學教學中融入數學史，可以讓學生更加清楚數學概念如何經由日常生活經驗上升為抽象的概念和方法，在經歷歷史的過程中獲得知識的建構，使抽象的數學概念和方法顯得新鮮而生動。

3.讓學生理解數學哲學和數學思想。數學教育的目的，并不僅僅是為了讓學生掌握解題的方法，甚至也不是讓他們學會解決問題的能力，更重要的是讓他們理解數學哲學和數學思想，掌握數學的思維方式，為他們未來的成長提供有效的營養。數學史深化了人們對數學本質、數學特點與數學科學價值的認識，揭示了數學活動的本質和數學問題在數學發展中的作用，因此有助于學生更加深入地理解數學哲學和數學思想，學會數學創造的思維模式。

4.提升學生興趣，培養學生學習數學的積極態度。很多研究表明，學生學習數學的動機不高，主要原因在于其抽象性，這種抽象性讓數學知識與學生的日常生活經驗距離太遠。在教學中融入數學史，可以從三個方面有效地提升學生的興趣：（1）數學史本身就是人類探索的過程，故事容易為學生所接受；（2）通過數學知識生成的歷史增強學生的體驗性，增加數學知識的親近感；（3）數學家成長的故事也可以很好地提升學生學習數學的積極態度。

二、PHM的理論基礎

雖然數學史融入數學教學的意義如此重大，然而任何意義必須通過實踐才能夠真正實現，而要使實踐達致理想，則必須體會其內在的機理，也就是要理解PHM的理論基礎。

1.重演法則

重演法則（recapitulation law）是生物學的一個重要概念，就是假設個體的發展會重演種系的發展，比如生物學家就觀察到，人的嬰兒在胚胎到出生這個階段重新演化高級哺乳動物由低級動物進化過來的歷史。德國生物學家海克爾就認為：遺傳和適應是生命的兩種建設性的生理機能，而遺傳的過程就是重演的過程。他還第一個把這一生物學的法則移植到心理學領域：“兒童精神的發展不過是系統發生進化的一個簡短復制”。

運用到數學教學上，重演法則意味著人類學習數學的過程，在某種程度上就是要重演古人數學思考和探索的過程。法國數學家龐加萊（Henri Poincaré，1854-1921）甚至這樣說過：“動物學家認為，動物胚胎的發育還在短暫的期間內，經過其祖先演化過程的一切地質年代而重演其歷史，看來思維的發展亦復如此。教育工作者的任務，就是要使兒童思想的發展踏過前人的足跡，迅速地走過某些階段，科學史應當是這項工作的指南。”

從某種意義上來說，并沒有多少實證理論支持數學學習中的重演法則，但事實上，學生的思維總是從形象到抽象，從生活到數學，從感性到理性，這一過程正是復制人類祖先發現數學的過程。例如在幾何的學習上就可以生動地體現重演法則。幾何學的歷史分為三個階段：無意識的幾何學、科學的幾何學、論證的幾何學。在具體的教學過程中，教師一般也是讓學生首先通過簡單的工藝勞作，或是通過對自然界中的現象的觀察，無意中熟悉大量的幾何概念，例如點、線、面、角、三角形、四邊形、圓、球、圓柱、圓錐等。隨后，引導學生在這些感性知識的基礎上建立科學的幾何學，這時學生可以通過實驗（使用羅盤和標尺，直尺和半圓儀，剪刀和漿糊，簡單的模型，等等）發現一系列幾何事實。最后，當學生們已經相當成熟時，才能夠以論證的或演繹的形式向他們講授系統的幾何學。在這個過程中，我們會發現數學教學越是真實地演化數學知識演進的過程，學生對之理解得越深刻。

2.創生原理

創生原理（genetic principle）和重演法則有著密切的聯系，它具體有兩個方面的涵義：第一，數學學習要在一定程度上重演數學發展的歷史；第二，數學學習的過程，不是外在系統的、邏輯的知識強加給學生的過程，而是一個自然的“創生”過程，只有這樣，數學才能夠成為學生素質的一部分。

和重演法則不同的是，創生原理并不認為學生學習數學過程是對祖先的重演，但它認同的是人類有著相類似的思維結構，這種結構構成了我們思考數學的物質基礎和“自然本質”，在這個方面，我們和古人并沒有特別大的區別，既然如此，我們必然會通過重復古人的方式來學習古人歷經艱辛所發現的知識。

不過，數學教育學者們強調，這種重復的過程，并不是把知識所謂一個既定的結果讓學生去“納入”，而是通過對發現過程的有限經歷來獲得知識，從而理解知識的來龍去脈，就好像知識是他們創生出來一樣。

在這里，需要關注的是“有限”這兩個字，這意味著在學生的學習中，教師不應當讓他們重復過去的無數個錯誤，而僅僅是重復那些關鍵性的步子。什么是關鍵性的步子？只有在在了解人類是怎樣獲得某些事實或概念的過程之后，我們才能更好地判斷我們的孩子應當怎樣去學習這些知識。

3.建構主義

建構主義發端于皮亞杰的發生認識論，他認為：“認識的獲得必須用一個將結構主義（Structurism）和建構主義（Constructivism）緊密地連結起來的理論來說明，也就是說，每一個結構都是心理發生的結果，而心理發生就是從一個較初級的結構轉化為一個不那么初級的（或較復雜的）結構”。也就是說，在數學學習過程中，學生通過主動的建構建立起自我的關于數學的結構，而這個結構又成為其進一步建構數學的中介，進一步的建構又不斷推動結構由簡單走向復雜。

如果說皮亞杰更強調知識本身的結構的話，后來的建構主義者則更強調學生在建構過程中的主動積極性，以及建構過程中現實場域和人際互動的作用。這些思想認為所有的知識，都是學生已有的經驗和新的知識交互作用的結果，數學學習并非是一個被動的吸收過程，而是一個以主體已有的知識和經驗為基礎的、在特定的場景中主動的建構過程。

建構主義為HPM的實踐提供了必要性和可能性。首先，建構主義表明，學生的數學建構必須基于一定的背景，在信息豐富而又比較規則的背景下，學生建構得最為成功。數學史通過對數學發現的歷史的講述，重新復現了數學發現的典型場景，對于學生數學知識的建構是最為有利的；其次，學生對數學知識的建構，均需建立在原有知識的基礎上，需要通過一步一步的階梯來達到高層次的水平，數學史將數學發現的過程按邏輯地呈現出來，給學生就提供了這樣一個階梯；再次，數學知識的建構，也是學生自我經驗和先人智慧“視界融合”的過程，古人通過數學史，更充分地“表達”了自己的觀念，因此能夠讓學生獲得更好的建構。

三、HPM視野下的數學教學實踐

雖然我們理解了HPM的原理，但是這個思想究竟如何在數學教學實踐中運用，依舊是一個問題。這里一個首要的問題就是數學史料如何才能夠融入到數學的課堂教學中。

從現有的實踐來看，數學史料包括三種：第一手文獻，也就是數學家原初在發現數學知識時所寫的筆記、著作等，如《墨子》中的關于圓的“一中同長也”理論；第二手文獻，也就是史學家根據一手文獻所寫的歷史，比如編年史、問題史等；教學材料，是學科專家或者教育專家根據歷史文獻結合具體的數學教學內容編寫到教學材料中的數學史內容，具有很強的針對性。

三種不同的文獻，教師在運用的時候采取的方式是不同的。一般來說，對于第一手文獻，由于大量散見于各種文獻之中，并不系統，語言上往往也有一定的障礙，對于數學教師來說運用起來有些困難，只有對某個數學問題深入鉆研的時候才有應用的價值；第二手文獻的好處在于它的系統性，能夠對一個數學問題或者數學概念進行深入系統的梳理和分析，對于數學知識的發現、形成和完善過程有著清晰的描繪，不過，這種文獻有可能與教學內容并不配套，有些時候會過淺或者過深，需要教師有選擇地使用。至于第三種文獻，原則上來說可以直接使用，但也可能教師自己的教學設計與原來的教學材料并不一致，這個時候照搬反而會形成一種限制，不如在第二手，甚至第一手資料中尋找合適的內容。

HPM數學實踐的第二個問題就是如何將數學史有機地融入到課堂教學中，根據筆者的研究，發現數學史和數學教學的融入，主要通過三種方式來進行：數學史作為組織數學教學活動的依據、數學史作為數學教學內容的有機構成、數學史作為獨立的數學教學內容。

1.數學史作為組織數學教學活動的依據

在具體的數學教學中，教師可以根據數學發現的歷史進程進行設計，從而讓學生能夠重復數學發現的關鍵性步驟，加深對數學知識和方法的認識。比如在教學圓的概念時，教師通過研究數學史會發現，人類對圓的認識是從生產實踐開始的，大約6000年前美索不達米亞人制造了第一個輪子，約4000年前，人們將木制的輪子固定在木架上，做成了最初的車子。會做圓并且對圓有了理論性的理解，則是2000年前的事情，我國的墨子就提出圓是“一中同長也”，而后，為了更好地作好圓，人們又進一步發現了圓周率，并且這一數字不斷地得到精確。在這樣的歷史長河中，我們發現對圓認識的幾個關鍵步驟：1.圓和其他平面形狀不同；2.人們在生產實踐中做圓的時候開始對圓的性質進行追尋；3.人類在對圓的認識中，不斷對其性質通過數字加以精確。確定這些關鍵性的步驟之后，教師就可以根據這些步驟來設計數學活動，首先讓他們對圓有感性的認識，然后逐步讓學生“發現”圓是“一中同長”的性質，最后再確定圓周和半徑之間的關系。在這樣的教學活動中，雖然沒有直接給學生講授數學史，但是通過學生親歷古人數學發現的過程，對圓的認識逐步加深，在獲得數學知識的同時，也獲得把數學是生活的需要、數學是人對現實和自然的精確表征等數學思想。

2.數學史作為數學教學內容的有機構成

和上述策略不同，數學史作為數學教學內容的有機構成是直接把數學發現的進程拿來，在課堂教學中重演，讓學生在栩栩如生的數學歷史進行思考和創生，在學習數學的同時體驗數學。比如，同樣是教學對圓的認識，教師可以通過技術手段或者講故事的方式，再現古人的發現圓、研究圓和精確與圓有關的重要數字等過程，將學生帶入到歷史場景中，和美索不達米亞人一起勞動和觀察，和木匠師傅一起做圓，和墨子一起觀察和思考，和祖沖之一起推演圓周率。

3.數學史作為獨立的數學教學內容

在一些數學教學中，教師可以直接教學數學史而不刻意地教學數學知識和方法。可以直接做獨立的數學教學內容的，包括數學發現的故事和軼事、數學悖論、歷史名題、數學家傳記等等。通過這些內容的教學，可以讓學生養成數學精神、發現自己思維運作的規律，雖然沒有直接教數學知識，但學生對此知識已經有機地掌握了，并從中學習到數學精神和數學思維方式。

上述由深到淺的數學史融入數學教學方式，還可以有更加細致的教學策略，對這些方式和策略的把握，可以讓教師的數學課堂充滿文化和生命的活力，充滿邏輯和理智的思考，從而不斷促進學生的數學素質的深入發展。

參考文獻

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