數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)視角：關(guān)注數(shù)學(xué)思維過程

教育部2003年頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》。新課程標(biāo)準(zhǔn)反復(fù)強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要重視揭示獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的思維過程，在此過程中，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展[1]。對(duì)數(shù)學(xué)思維的強(qiáng)調(diào)，也是國際范圍內(nèi)數(shù)學(xué)課程改革的重要特征。美國《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里，對(duì)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中，突出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思維方法的教育。然而上述理念，在我國數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，并未得到很好貫徹。主要表現(xiàn)為：教學(xué)中忽視概念的形成過程、忽視問題的發(fā)現(xiàn)過程、忽視規(guī)律的揭示過程、忽視思維過程中的非邏輯思維的作用。教學(xué)中，因?yàn)樽非蟆靶省保３霈F(xiàn)用教師的思維去替代學(xué)生的思維活動(dòng)。導(dǎo)致的結(jié)果是，表面上學(xué)生雖能夠按照一定模式去解題，但并未真正理解數(shù)學(xué)概念、定理的本質(zhì)。其實(shí)，教師應(yīng)給予學(xué)生自主處理新問題，獨(dú)立進(jìn)行辨別、分析、判斷、推理、猜想的機(jī)會(huì)，要允許學(xué)生思維的自然展開和差錯(cuò)的存在。因此，在分析教學(xué)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)，要充分關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程，并以此作為課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)。本文將圍繞上述問題作進(jìn)一步的分析研究。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)過程的分析

教育心理學(xué)研究表明，教學(xué)從根本上來說，是一個(gè)師生雙方在認(rèn)知和情感兩方面進(jìn)行交互作用的過程。教學(xué)過程就是不斷地尋求教學(xué)要求與學(xué)生已有認(rèn)知水平之間，以及教學(xué)要求與學(xué)生學(xué)習(xí)意愿之間平衡的過程[2]。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)雖不可能去重復(fù)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新規(guī)律的實(shí)踐過程，但間接的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)是獲取知識(shí)的重要過程。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)過程就是引導(dǎo)學(xué)生探索未知領(lǐng)域新知識(shí)的數(shù)學(xué)再創(chuàng)造過程，就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)過程有以下一些特征。

1.數(shù)學(xué)教學(xué)過程是邏輯思維與非邏輯思維的相互作用過程

我們說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需關(guān)注兩個(gè)方面：一是，在繼承數(shù)學(xué)文化知識(shí)的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)其問題和不足，從而形成新的思想，引出新的概念，構(gòu)建新的理論體系。二是，從感性的經(jīng)驗(yàn)材料中，抽象、概括出一般性的結(jié)論。在此過程中，人們就會(huì)使用分類、比較、分析、綜合、猜想等思維方法，起作用的主要是邏輯思維方法，而非邏輯思維方法間或也會(huì)發(fā)揮不可忽視的作用。因此，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或數(shù)學(xué)教學(xué)考慮，嚴(yán)格的邏輯思維方法，需要靈活的非邏輯思維方法來幫助。非邏輯思維方法因不受固定格式和時(shí)間、空間的限制，它可以滲入任何思維過程，在關(guān)鍵時(shí)刻，能把斷裂的邏輯思維方法重新接通。可見，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是邏輯思維與非邏輯思維相互作用的過程，它們是同一思維過程中的兩個(gè)相輔相成的方面。因此，在探尋數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想的發(fā)生、形成、發(fā)展過程中，充分揭示數(shù)學(xué)思維過程，使學(xué)生真正理解和掌握所學(xué)知識(shí)。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)過程是學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程

學(xué)生的認(rèn)知都需要經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，這其實(shí)是教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括的思維過程。教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過創(chuàng)設(shè)有效的問題是學(xué)生思維活化的前提。思維的活化，使得學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)被激活，教學(xué)中的問題意識(shí)更加明顯、探究意識(shí)更為強(qiáng)烈，教學(xué)的主體性也就充分發(fā)揮出來。通過充分揭示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和變化來揭示數(shù)學(xué)思維過程，使學(xué)生能從思想方法的高度去理解數(shù)學(xué)，迅速抓住問題的本質(zhì)，創(chuàng)造性地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去尋求解答方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力。因此，教師應(yīng)始終關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)中隱含的數(shù)學(xué)思維主線，把獲取知識(shí)的思維過程充分暴露出來，使課堂中不斷產(chǎn)生師生之間智慧與思維的交流與碰撞，激發(fā)與激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與潛能。波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中寫道：“歐拉最重視數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，歐拉認(rèn)為，如果不能把解決數(shù)學(xué)問題背后的思維過程暴露給學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)就是沒有意義的”[3]。

3.數(shù)學(xué)教學(xué)過程是三種思維活動(dòng)的不斷演進(jìn)過程

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的三種思維活動(dòng)是指：編寫者的思維活動(dòng)（體現(xiàn)在教科書中）、數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)、學(xué)生的思維活動(dòng)。由于數(shù)學(xué)教科書呈現(xiàn)出的是知識(shí)的文本邏輯體系，這其中隱含著知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的抽象概括的思維過程。同時(shí)，教科書中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系與學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)水平之間存在較大差異，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此，教師需要合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程，在編寫者的思維（教科書）和學(xué)生的思維活動(dòng)之間，在學(xué)生已有知識(shí)與面臨的問題之間架設(shè)橋梁。教師需要吃透教科書（明晰編者的思維活動(dòng)），把握學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的思維過程（重視學(xué)生作業(yè)的分析）。使編寫者、教師、學(xué)生的思維活動(dòng)和諧統(tǒng)一和不斷演進(jìn)，能不斷引導(dǎo)與調(diào)控學(xué)生的思維活動(dòng)，使學(xué)生形成良好思維品質(zhì)和合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

二、關(guān)注數(shù)學(xué)思維過程的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.重視剖析知識(shí)的形成與發(fā)展過程

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和實(shí)踐過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，要注重?cái)?shù)學(xué)概念的形成過程、定理法則的提出過程、解題思路的探索過程，充分暴露思維過程，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中展開思維、發(fā)展能力、提高思維品質(zhì)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

以“復(fù)數(shù)概念的教學(xué)”為例，可設(shè)計(jì)如下的教學(xué)環(huán)節(jié)（問題為中心）。

環(huán)節(jié)1：注重概念的引入（數(shù)系擴(kuò)充的必要性和一般規(guī)律引入）。

問題1：討論關(guān)于x的方程（x-1）（2x-1）（x2-2）（x2+1）=0的解的個(gè)數(shù)。（意義：把新概念與完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起，體現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知過程）。

學(xué)生得出結(jié)論：實(shí)數(shù)范圍內(nèi)4個(gè)解，

（1，■，■，-■），其中，方程在x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。

環(huán)節(jié)2：感悟概念的產(chǎn)生（學(xué)生體會(huì)到概念形成過程是自然的）。

問題2：可否擴(kuò)充數(shù)系使方程x2+1=0有解？（意義：體會(huì)學(xué)習(xí)概念與前人形成概念的相似之處，問題——辨別（比較、分析、綜合）——抽象——提出假設(shè)——概括的思維過程）。

結(jié)論：新數(shù)滿足平方等于-1，即i2=-1，且原有的加、乘運(yùn)算律成立（通過增加新元素和規(guī)定適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算）。

環(huán)節(jié)3：參與概念的建立（理解用符號(hào)化語言精練表達(dá)復(fù)數(shù)概念）。

問題3：將虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，會(huì)得到怎樣的結(jié)果？（意義：體會(huì)復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算融合成的一個(gè)整體）。

環(huán)節(jié)4：深化概念的理解（對(duì)概念從特殊化、一般化、幾何意義等方面去考察）。

問題4：實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+（m-i）i是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，著眼于使學(xué)生能夠真正把握新概念的本質(zhì)屬性，從數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求出發(fā)引入新概念，這其中滲透了數(shù)學(xué)研究的合情類比推理、歸納演繹思維和非邏輯思維，把觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、猜想與反駁的思維活動(dòng)貫穿于教學(xué)之中。學(xué)生經(jīng)歷了利用已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使新知識(shí)納入到一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，創(chuàng)新衍生出新知識(shí)的探索過程，這正是教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注數(shù)學(xué)思維過程的自然結(jié)果。

2.分析與顯化問題中的數(shù)學(xué)思維過程

解決數(shù)學(xué)問題是一個(gè)不斷分析問題，將其轉(zhuǎn)化為已知問題的思維過程。思維進(jìn)程往往遵循著一般邏輯、數(shù)學(xué)思想、具體數(shù)學(xué)方法、技巧和程序來推進(jìn)。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要充分關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的觀察與分析、抽象與概括的思維過程，要剖析與顯化如何選取并綜合已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行判斷、推理、猜想、概括的思維過程，并及時(shí)評(píng)價(jià)與調(diào)控學(xué)生的思維過程。上述思維過程，正是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新規(guī)律的思維活動(dòng)，更是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取新知識(shí)，進(jìn)行創(chuàng)造性思維的能力。

例如：設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>b>c）在x=1處取得極值，其圖像在x=m處的切線斜率為-3a，求證：0≤■≤1。可設(shè)計(jì)如下的教學(xué)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)1：弄清問題，明確思維方向。

學(xué)生閱讀題目，分析問題與條件之間的關(guān)系，并對(duì)題設(shè)條件做出解釋和轉(zhuǎn)換。（學(xué)生在分析思考過程中，會(huì)將條件“函數(shù)f（x）在x=m處取得極值”轉(zhuǎn)化為f′（1）=0，即

3a+2b+c=0 （1）

將“其圖像在x=m處的切線斜率為-3a”轉(zhuǎn)化為

f′（m）Ide4KYVc7bYUxvLAjumZu2CQc6OqKNlbHiRothpNZOs==-3a，即

3am2+2bm+c=-3a （2）

再從涉及a、b、c、m的條件組中消去參數(shù)c、m，從而得到-1<■<1。產(chǎn)生困惑：結(jié)論與所求證結(jié)果不一致（學(xué)生有可能提出猜想，是否運(yùn)用了條件（2））。

環(huán)節(jié)2：擬訂計(jì)劃，用困惑顯示問題（設(shè)計(jì)如下問題）。

問題1：你的解答過程完善嗎？是否每一步推理都有充分的依據(jù)？是否有疏漏？（其實(shí)在推出-1<■<1，默認(rèn)了a>0）

問題2：你所得結(jié)論與求證結(jié)論之間有何關(guān)系？為了得到求證結(jié)論還需要做什么？（預(yù)設(shè)學(xué)生答，可能需要利用②來證■≥0）

問題3：你感覺條件（2）難以處理，難在哪里？（預(yù)設(shè)學(xué)生思維受阻的原因，感覺方程（2）比較難解，而且解出m后，又無處可代，不知道怎樣才能消去m，可能會(huì)放棄解出m）

環(huán)節(jié)3：反思拓展。

反思：解方程時(shí)應(yīng)注意什么問題？（學(xué)生馬上明白，方程3am2+2bm+c=-3a有實(shí)數(shù)解m需要驗(yàn)證判別式，這樣就得到學(xué)生想要的關(guān)于a、b的判別式）

拓展：“已知函數(shù)f（x）=mx2-x+1，實(shí)數(shù)a、b滿足a>b>1，且f（a）=0，f（b）=0，求實(shí)數(shù)m的實(shí)數(shù)解”。學(xué)生自然想到：方程f（x）=0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根。

通過將題目轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)體系和方法處理；通過融觀察、猜想、證明于一體的解題思維過程的展開；通過問題的拓展；通過思維不斷地聚合和發(fā)展的過程，學(xué)生不斷地賦于數(shù)學(xué)方法以具體新鮮的意義，思維品質(zhì)得到優(yōu)化。中學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：函數(shù)與方程思想、數(shù)與形結(jié)合思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、或然與必然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的深入探究，這其實(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)思維過程目標(biāo)的具體化。

3.合理設(shè)計(jì)學(xué)生思維上的過渡與銜接

數(shù)學(xué)教科書在闡述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，呈現(xiàn)的是經(jīng)過整理加工的嚴(yán)密抽象的結(jié)論，隱去了許多曲折的思維過程。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不能直接照搬教科書上的內(nèi)容，要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的可接受性。在內(nèi)容的組織與教學(xué)設(shè)計(jì)中，要考慮學(xué)生的思維水平，準(zhǔn)確把握學(xué)生可能遇到的困難和疑惑，合理設(shè)計(jì)學(xué)生思維上的過渡與銜接。通過吃透教材（理解數(shù)學(xué)家的思維過程），切實(shí)把握知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，挖掘客觀存在的思維規(guī)律，充分呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程。

以人教版《普通高中實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4·必修（A版）》任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)為例，教學(xué)設(shè)計(jì)可關(guān)注以下幾個(gè)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)1：教材分析。（找準(zhǔn)學(xué)生思維間斷的關(guān)鍵）

高中階段任意角三角函數(shù)概念的建立既是知識(shí)重點(diǎn)，也是理解的難點(diǎn)。教學(xué)中需要突破用直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限。因此，在任意角三角函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要解決幾個(gè)關(guān)鍵：如何從角度制過渡到弧度制？如何從銳角三角比過渡到任意角的三角比？以避免銳角三角函數(shù)知識(shí)的負(fù)遷移。如何引入單位圓？其實(shí)這也是造成學(xué)生思維跳躍、不連續(xù)的關(guān)鍵。

環(huán)節(jié)2：合理設(shè)計(jì)學(xué)生思維上的過渡與銜接。

在任意角三角函數(shù)概念教學(xué)中，弧度制的引入是困擾學(xué)生的一個(gè)問題。教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們可從數(shù)學(xué)史的研究中得到答案。其實(shí)，角度制與弧度制都是建立在等分圓周上，弧度制把圓周分成等份更科學(xué)更合理，把圓周分成360等份是歷史形成的一種規(guī)定。困擾學(xué)生的問題之二是，如何從銳角三角比過渡到任意角的三角比？數(shù)學(xué)史的研究告訴我們，從銳角三角比到研究任意角的三角比是從幾何的方法到解析的方法的轉(zhuǎn)變，是研究視角的重大變化。教學(xué)設(shè)計(jì)中，以史為源可恰當(dāng)處理學(xué)生思維上的過渡與銜接。

環(huán)節(jié)3：圍繞“單位圓定義法”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

通過上述兩個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)研究，可順利設(shè)計(jì)任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)：回憶銳角的三角函數(shù)——銳角放在坐標(biāo)系中——用角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角的三角函數(shù)——引入單位圓（用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角的三角函數(shù)）——推廣（用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)）。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，思維過渡自然，有利于步步加深對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)的理解。通過單位圓可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，設(shè)計(jì)中突出了幾何直觀對(duì)理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用，注重了學(xué)生知識(shí)探索過程中的數(shù)學(xué)思維過程分析。

三、結(jié)論

我們說數(shù)學(xué)從靜態(tài)角度看是數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式的匯集，而從動(dòng)態(tài)角度去審視，數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)需要經(jīng)歷初步感知、逐漸領(lǐng)會(huì)、再到靈活運(yùn)用的思維發(fā)展過程。教學(xué)中應(yīng)注重設(shè)計(jì)反應(yīng)不同思維水平發(fā)展的問題串，一個(gè)好的問題，應(yīng)是能啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，并不在于它是簡單的還是困難的，是具體的還是一般的，教學(xué)設(shè)計(jì)中教師對(duì)此再費(fèi)時(shí)費(fèi)力也不過分。同時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)中不掩蓋數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，這是學(xué)生形成良好思維結(jié)構(gòu)的根本保證。如果教學(xué)中長期片面地強(qiáng)調(diào)某些思維環(huán)節(jié)，忽視另外一些環(huán)節(jié)，就會(huì)造成思維結(jié)構(gòu)的一定缺陷。例如，目前學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力不足，其中之一就是長期掩蓋發(fā)現(xiàn)問題環(huán)節(jié)的結(jié)果。一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師絕不是把數(shù)學(xué)作為知識(shí)來讓學(xué)生記住，而是在教學(xué)中把數(shù)學(xué)思維過程埋進(jìn)基本的教學(xué)過程中。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿.北京：人民教育出版社，2003.

[2] 劉黎明.教學(xué)過程本質(zhì)之我見.教育研究，1992（3）.

[3] G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想（第1卷）.北京：科學(xué)出版社，2011.

[4] 張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué).南京：江蘇教育出版社，1990.

[5] 斯托利亞爾著.數(shù)學(xué)教育學(xué).丁爾升等譯.北京：人民教育出版社，1984.

[6] 施良方.課程理論——課程的基礎(chǔ)、原理與問題.北京：教育科學(xué)出版社，1996.

[該文為綿陽師范學(xué)院教學(xué)改革研究課題資助項(xiàng)目（課題編號(hào)：mnu201312）的研究成果]