不等式證明，還看放縮法

眾所周知，放縮法是不等式證明的一種非常重要的方法，在高考題和各地模擬題的壓軸題中屢見不鮮. 所謂放縮法即是從不等式的一邊著手，用不等式的傳遞性等性質，舍去（或添上）一些正項或者負項，擴大或縮小分式的分子、分母，逐漸適當地有效放大或縮小到所要求的目標. 它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點，有極大的遷移性，對它的運用往往能體現出創造性. 放縮法可以和很多知識結合，對應變能力有較高的要求. 因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞. 下面采擷近幾年的高考題及高考模擬題進行分類解析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

例1 （2008年遼寧高考）在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N？鄢）.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測數列{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論；

綜上，原不等式成立.

點評 在數列求和型不等式證明中，一般來說有先放縮再求和或先求和再放縮兩種形式. 若數列易于求和，則選擇先求和后再放縮；若數列不易求和，要考慮先放縮后再求和的證明方法. 本例題選擇先放縮再求和，切記放縮后要易于求和且放縮得當，若從第1項開始放大，則會放得過大，導致證明失敗，故在證明過程中選擇從數列第2項開始放大，恰到好處.

應用迭代法進行放縮

（1）取x0=5，a=100，計算x1，x2，x3的值（精確到0.01），歸納出xn，xn+1的大小關系；

解析 （1）x1=4.74，x2=4.67，x3=4.65，猜想xn+1

（2）用作差法不難得出結論.

（3）由（2）得：

構造函數，應用函數單調性進行放縮

例3 （2006年湖南高考）已知函數f（x）=x-sinx，數列{an}滿足：0

證明：（1）0

解析 （1）證明略.

首先要說明它的單調性：由（1）知，當0

又g（x）在[0，1]上連續，且g（0）=0，所以當0g（0）=0成立.

點評 本例恰當構造“差函數”，先判斷“差函數“的單調性，然后在證明g（x）>0的過程中，靈活運用函數的單調性進行放縮，是本題證明的關鍵所在.

應用題設或題問中的不等關系式進行放縮

例4 （2011年廣東五校聯考）已知函數f（x）=ex-mx.

（1）當m=1時，求函數f（x）的最小值；

解析 （1）當m=1時， f′（x）=ex-1，令f′（x）=0得x=0. 當x∈（-∞，0）時， f′（x）<0；當x∈（0，+∞）時， f′（x）>0，故當x=0時， f（x）的最小值是1.

尋找解決問題的突破口，從而達到解決問題的目的.

應用二項式展開后再進行放縮

（1）令bn=2nan，求證：數列{bn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；

可猜想當n≥3時，2n>2n+1. 證明如下：2n=（1+1）n=C0n+C1n+C2n+…Cnn-1+Cnn≥C0n+C1n+Cnn-1+Cnn=2n+2>2n+1.