華中師大一附中武 漢外國語學校月考試卷調研

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.

A. -2 B. 2 C. -1 D. 1

A. A∩B B. A∪B C. CU（A∩B）D. CU（A∪B）

2. （理）命題“若a，b都是偶數，則a+b是偶數”的否命題是（ ）

A. 若a，b都是偶數，則a+b不是偶數

B. 若a，b不都是偶數，則a+b不是偶數

C. 若a，b都不是偶數，則a+b不是偶數

D. 若a，b不都是偶數，則a+b是偶數

（文）命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是（ ）

A. 所有不能被2整除的數都是偶數

B. 所有能被2整除的數都不是偶數

C. 存在一個不能被2整除的數是偶數

D. 存在一個能被2整除的數不是偶數

A. [0，3] B. （0，3）

C. （-5，0]∪[3，4） D. [-5，0）∪（3，4]

A. i B. -i C. 1 D. -1

4. （理）甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}. 若a-b≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”. 現任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（ ）

（文）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=80，b=100，A=30°，則此三角形（ ）

A. 一定是銳角三角形？搖？搖？搖 B. 一定是直角三角形？搖

C. 一定是鈍角三角形

D. 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

（文）如圖3的算法流程圖中，當輸入n=61時，則輸出的n等于（ ）

A. 61 B. 62 C. 63 D. 64

6. （理）已知三棱錐S-ABC的三視圖如圖4所示，在原三棱錐中給出下列命題：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC. 其中所有正確命題的代號是（ ）

A. ① B. ② C. ①③ D. ①②

圖4 圖5

（文）某幾何體的三視圖如圖5所示，則此幾何體的體積是（ ）

A. 2002B. 2004 C. 2006 D. 2008

8. （理）設x，y滿足約束條件x-2y≥-2，3x-2y≤3，x+y≥1，若x2+4y2≥a恒成立，則實數a的最大值為（ ）

（文）莖葉圖（如圖6）表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中有一個數字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是（ ）

（文）規定[x]表示不超過x的最大整數， f（x）=2-x-2，x∈（-∞，0），x-[x]，x∈[0，+∞）. 若方程f（x）=ax+1有且僅有四個實數根，則實數a的取值范圍是（ ）

二、填空題：本大題理科共6小題，考生共需作答5小題；文科共5小題，每小題5分，共25分.

（一）必做題

11. （理）從a，b，c，d，e這5個元素中取出4個放在四個不同的格子中，且元素b不能放在第二個格子中，則共有_____種不同的放法. （用數字作答）

（文）已知向量a=（2，3），b=（-2，1），則a在b方向上的投影等于________.

（1）如果n=2，則按照上述規則施行變換后的第8項為_________.

（2）如果對正整數n（首項）按照上述規則施行變換后的第8項為1（注：1可以多次出現），則n的所有不同值的個數為_________.

（文）若點（x，y）滿足（x-1）2+（y-1）2≥1，1≤x≤2，1≤y≤2，則目標函數z=x+y的最小值為_________.

15. （文）某種平面分形圖如圖9所示，一級分形圖是由一點出發的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每一條線段的末端再生成兩條長度均為原（1）四級分形圖中共有_________條線段；

（2）n級分形圖中所有線段的長度之和為_________.

（二）選做題（請理科考生在第14、15、16三題中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題結果計分）.

14. （理）（選修4-1：幾何證明選講）

如圖10，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC相交于點D，若EB=8，EC=2，則ED=______.

16. （理）（選修4-5：不等式選講）△ABC的三邊長分別為4，5，6，P為三角形內部一點，P到三邊的距離分別為x，y，z，則x2+y2+z2的最小值為______.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.

（1）求函數f（x）的解析式；

17. （理）（本小題滿分12分）設角A，B，C是△ABC的三個內角，已知向量m=（sinA+sinC，sinB-sinA），n=（sinA-sinC，sinB），且m⊥n.

（1）求角C的大小；

（2）若向量s=（0，-1），t=cosA，2cos2■，試求s+t的取值范圍.

（文）（本小題滿分12分）為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力，按視力情況分成8組，得到如圖12所示的頻率分布直方圖，但不慎將部分數據丟失，只知道前6組的頻數從左到右依次是等比數列{an}的前六項，后3組的頻數從左到右依次是等差數列{bn}的前三項.

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；

（2）設數列{cn}滿足cn=■，求數列{cn}的前n項和Sn.

18. （理）（本小題滿分12分）節日期間，高速公路車輛較多. 某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如圖13的頻率分布直方圖.

（1）此調查公司在采樣中用到的是什么抽樣方法？

（2）求這40輛小型汽車車速的眾數和中位數的估計值.

（3）若從車速在[80，90）的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中車速在[85，90）的車輛數ξ的分布列及數學期望.

（文）（本小題滿分12分）如圖14，棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，底面A1B1C1是邊長為4的等邊三角形，且B1C⊥A1B.

（1）求證：平面AB1C⊥平面A1BC1；？搖

（2）設D是棱A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，當B1C=2■時，求B1D與平面A1BC1所成的角的正切值.

19. （理）（本小題滿分12分）如圖15，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD=AD=2.

（1）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；

（2）在（1）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小.

（文）（本小題滿分12分）國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款（即無利息貸款），旨在幫助高校家庭經濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費. 每一年度申請總額不超過6000元. 某大學2013屆畢業生小王在本科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業后3年內（按36個月計）全部還清.簽約的單位提供的工資標準為第一年內每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元.小王計劃前12個月每個月還款額為500，第13個月開始，每月還款額比前一個月多x元.

（1）假設小王在第m個月還清貸款（m≤36，m∈N？鄢），試用x和n表示小王第n（n

（2）當x=40時，小王將在第幾個月還清最后一筆貸款？

（3）在（2）的條件下，他還清最后一筆貸款的那個月的工資的余額是否能滿足此月3000元的基本生活費？（參考數據：1.0520=2.653）

20. （理）（本小題滿分12分）

甲、乙兩人用農藥治蟲，由于計算錯誤，在A，B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克，實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的，現在只有兩個容量為1千克的藥瓶，他們從A，B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為an%，B噴霧器中藥水的濃度為bn%.

（1）證明：an+bn是一個常數；

（2）求an與an-1的關系式；

（3）求an的表達式.

（文）（本小題滿分13分）已知拋物線C1：y2=2px（p>0）的焦點F與橢圓C2：■+■=1（a>b>0）的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x2+y2=1上.

（1）求拋物線C1和橢圓C2的標準方程；

（2）過點F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知■=λ1■，■=λ2■，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由.

21. （理）（本小題滿分13分）已知拋物線C1：y2=2px（p>0）的焦點F與橢圓C2：■+■=1（a>b>0）的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x2+y2=1上.

（1）求拋物線C1和橢圓C2的標準方程；

（2）過點F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知■=λ1■，■=λ2■，求λ1+λ2的值；

（3）直線l交橢圓C2于P，Q兩不同點，P，Q在x軸的射影分別為P′，Q′，■·■+■·■+1=0，若點S滿足■=■+■，證明：點S在橢圓C2上.

（文）（本小題滿分14分）已知函數f（x）=■（x∈R）.

（1）求函數f（x）的極大值；

（2）若（et+2）x2+etx+et-2≥0對滿足x≤1的任意實數x恒成立，求實數t的取值范圍（這里e是自然對數的底數）；

（3）求證：對任意正數a，b，λ，μ，恒有f■？搖■-f■≥■■-■.

22. （理）（本小題滿分14分）已知f（x）=-lnx，g（x）=■-1（x>0）

（1）求F（x）=f（x）-g（x）的極值，并證明：若x1，x2∈（0，+∞），則f（x2）-f（x1）≥f ′（x1）（x2-x1）；

（2）設λ1，λ2>0，且λ1+λ2=1，x1>0，x2>0，證明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），若λi>0，xi>0（i=1，2，…，n），由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；

（3）證明：若ai>0（i=1，2，…，n），則a■■a■■…a■■≥■■.