解含絕對值不等式的捷徑與誤區

我們先來解一個不等式：

解關于x的不等式2x-1>3-x.

最直接的想法是去掉絕對值，當然這也是解決含絕對值問題的基本思想，于是有下面的解法.

解法1

2x-1>3-x

另外，我們知道當a≥0時，x>a？圳x>a或x<-a，利用這個原理，可以有如下的解法.

解法2

以上兩種方法容易理解，且由于緊扣高中絕對值不等式的知識點，不失為好方法. 然而，就筆者所知，有同學在學習中，覺得有比以上兩種更簡單的解法.

解法3

的確，這種解法非常簡潔，但是我們也往往產生疑問：這種解法為什么是對的？它的原理是什么？現給出如下證明.

定理1 關于x的不等式f（x）解集為{x-g（x）

于是上述不等式的解集用集合語言表述即為

推論1 {xf（x）≤g（x）}={x-g（x）≤f（x）≤g（x）}.

進一步的，我們也可以得到下面的結論.

定理2 關于x的不等式f（x）>g（x）的解集為{xf（x）>g（x）或f（x）< -g（x）}.

推論2 {xf（x）≥g（x）}={xf（x）≥g（x）或f（x）≤-g（x）}.

當然，定理2的證明也可不借助定理1而單獨給出證明：f（x）>g（x）？圳g（x）≥0，f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）或g（x）<0，x∈R.

又由于當g（x）<0時，{xf（x）>g（x）}∪{xf（x）<-g（x）}=R，

因此上式等價于

g（x）≥0，f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）或

g（x）<0，f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）

？圳f（x）>g（x）或f（x）<-g（x），

即{xf（x）>g（x）}={xf（x）>g（x）或f（x）<-g（x）}.

因此，解法3是正確的解法，運用上述兩個定理來解形如“f（x）>g（x）或f（x）

不少同學甚至老師會給出如下解法.

可是也有這樣的解法.

原不等式總成立，

解法1和解法2 的結果不一致！究竟哪種解法是對的？仔細審視兩種解法的過程，我們可以肯定解法2是沒有問題的，那么，解法1是哪一步錯了呢？

實際上，解法1中的步驟①到②是不等式的移項，沒有問題；③④⑤⑥是求最值的過程，本身不存在問題；⑦是③的等價轉化，也不存在問題；錯誤其實來源于②到③不是等價的轉化！

為了更清楚地說明這個問題，我們把問題進行一般化來研究.

對任意的x∈[m，n]，f（x，a）>g（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

問題等價于求集合{af（x，a）>g（x），對于？坌x∈[m，n]}. 為此，我們設

A={af（x，a）>g（x），對于？坌x∈[m，n]}，

B={af（x，a）>g（x），對于？坌x∈[m，n]}，

C={af（x，a）<-g（x），對于？坌x∈[m，n]}，

解法1認為A=B∪C，這是否正確呢？我們來舉一個反例.

既然對于例2這種類型的題目，不能采用解法1的辦法，那應該怎樣解決呢？解法2給了我們答案，最穩妥的辦法應是進行分類討論，正確地去掉絕對值，使不等式不含絕對值，這樣就好辦了.

值得一提的是，對于形如“f（x，a）