多法在手，不等式易破

考試大綱要求了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法. 此外，證明不等式還有基本不等式法、換元法（三角換元、代數(shù)換元）、構(gòu)造法（構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形）等.

分析1（分析綜合法） 此法綜合性較強(qiáng)，沒有固定套路，需要結(jié)合多方面知識并靈活運(yùn)用才能解決問題.

證法1 欲證原式，即證4（ab）2+4（a2+b2）-25ab+4≥0，

因?yàn)閍>0，b>0，a+b=1，所以ab≥8不可能成立.

分析2（均值代換法）weqdnLThSjihPpgWs8M56w== 根據(jù)a，b的對稱性，可運(yùn)用均值代換法，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式證明.

分析3（比較法） 比較法是不等式證明中非常基本的方法，其中主要是作差比較和作商比較.

分析4（綜合法） 運(yùn)用綜合法時(shí)，可先用分析法逆向捕捉思路，再用綜合法表述證明過程.

分析5（三角代換法） 由a+b=1可以聯(lián)系cos2θ+sin2θ=1，從而聯(lián)想到三角換元.

因?yàn)閟in22α≤1，所以4-sin22α≥4-1=3.

點(diǎn)評 證明不等式要熟悉常用的證明方法，根據(jù)要證的不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進(jìn)行證明. 利用作差法時(shí)，要首先想到有無公因式，有目的地重組，從而快速得到容易判斷正負(fù)性的變形式. 本例使用分析法時(shí)，聯(lián)想到恒等式（a+b）2=a2+b2+2ab，巧變形，方便快捷. 證題時(shí)，要審視待證不等式的結(jié)構(gòu)特征和條件，發(fā)揮想象，看看能否借助已有的結(jié)論或剛證明過的結(jié)論來優(yōu)化證題過程.

最值（或范圍）問題的求解方法常見的有：①配方法；②均值不等式法；③換元法；④函數(shù)單調(diào)性法；⑤判別式法（多數(shù)情況下要驗(yàn)證等號能否取得）；⑥數(shù)形結(jié)合法；⑦導(dǎo)數(shù)法；⑧利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)等.

分析2 通過基本不等式放縮直接得到所求的式子，過程中需要對等式稍加變形，具有一定技巧.

分析3 消元后構(gòu)造均值不等式. 此法運(yùn)用了化歸思想，將多變量的最值問題轉(zhuǎn)化為單變量的最值問題，把復(fù)雜問題化為簡單問題.

分析4 三角代換法. 已知等式中，兩式相加等于常數(shù)，可以聯(lián)系cos2θ+sin2θ=1，從而聯(lián)想到三角換元.

分析5 導(dǎo)數(shù)法. 求函數(shù)的值域、最值，導(dǎo)數(shù)法是非常常規(guī)而且有用的方法.

點(diǎn)評 此題屬于基礎(chǔ)題，解決問題非常容易，但對同學(xué)們來說，應(yīng)該嘗試用多種方法解答，一題多解更能培養(yǎng)思維的廣闊性. 利用不等式求取值范圍或最值時(shí)，主要方法有消元法、換元法、導(dǎo)數(shù)法，求解時(shí)要注意觀察已知等式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用適當(dāng)方法轉(zhuǎn)化為不等式，從而得到結(jié)果. 每種方法在不同題目中的難易程度不同，思維不要受到局限，做題要靈活處理.