數(shù)列綜合應(yīng)用

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容主要包含等差數(shù)列與等比數(shù)列的整合問題，數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題，以數(shù)列為背景的創(chuàng)新問題等，其主要考查公式的靈活應(yīng)用能力、運(yùn)算能力. 在客觀題中，突出考查兩種數(shù)列的整合問題，合情推理在數(shù)列中的應(yīng)用，新定義問題等；而在解答題中，以中等難度題為主，重點(diǎn)考查數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題，以及探索性問題、實(shí)際應(yīng)用問題等.

重點(diǎn)：熟練掌握等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和求和公式，熟悉等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，培養(yǎng)突破數(shù)列綜合問題的能力；熟練把握等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算技巧，提高運(yùn)算能力，準(zhǔn)確定位解題的方向；善于利用數(shù)列知識(shí)解決一些實(shí)際問題.

難點(diǎn)：數(shù)列與不等式的交匯；數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯；與數(shù)列有關(guān)的創(chuàng)新性試題，如實(shí)際應(yīng)用問題、探索性問題、新定義問題等.

方法突破

1. 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列整合問題的基本策略

等差數(shù)列與等比數(shù)列整合問題一般與求通項(xiàng)公式及求和問題相聯(lián)系，可利用通項(xiàng)公式或求和公式將已知的條件轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)列基本量所滿足的方程，通過聯(lián)立方程組求解. 同時(shí)，注意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活轉(zhuǎn)化條件，建立已知和待求之間的聯(lián)系，減少運(yùn)算量，提高解題速度.

2. 突破數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合問題的三個(gè)轉(zhuǎn)化

數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合問題一般與函數(shù)的性質(zhì)與圖象、方程的解、數(shù)列中的基本運(yùn)算相聯(lián)系，解決此類問題需要實(shí)現(xiàn)以下三個(gè)方向的轉(zhuǎn)化：①函數(shù)條件的轉(zhuǎn)化，直接利用函數(shù)與數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把函數(shù)解析式中的x換成n即可；②方程條件的轉(zhuǎn)化，一般要根據(jù)方程解的有關(guān)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化；③數(shù)列向函數(shù)的轉(zhuǎn)化，可將數(shù)列中的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相應(yīng)問題去處理，但要注意自變量取值范圍的限制. 對(duì)于函數(shù)中的最值、范圍等問題的求解，可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性或方程有解的條件去解決

3.化解數(shù)列與不等式的綜合問題的主要方法

數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題，其中大多數(shù)以數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和問題為背景，考查數(shù)列中的不等式的證明和不等式恒成立問題等. 求解與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題的關(guān)鍵是抓住問題的本質(zhì)，進(jìn)行合理的變形、求和，最后進(jìn)行放縮，從而得出結(jié)論. 求解與數(shù)列有關(guān)的不等式恒成立問題的方法是利用“參變分離”或其他技巧轉(zhuǎn)化為求最值問題去處理，然后再利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.

4. 求解數(shù)列應(yīng)用題的三個(gè)步驟

數(shù)列應(yīng)用題的求解過程類似于函數(shù)應(yīng)用題的求解過程，一般分成如下三步：①建模，即認(rèn)真審題，理解實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)列問題；②解模，即利用數(shù)列知識(shí)，解決建立的數(shù)列模型中的相關(guān)問題；③釋模，即把已解決的數(shù)列模型中的問題還原到實(shí)際問題中去，確定實(shí)際問題的結(jié)果.

5. 解數(shù)列創(chuàng)新問題的常用技巧

數(shù)列中的創(chuàng)新試題主要包括新定義問題和探索性問題，求解技巧如下：①破解數(shù)列新定義問題的關(guān)鍵是理解題中所給的定義，把握其本質(zhì)，再根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練運(yùn)用歸納類比、構(gòu)造、正難則反、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法解題；②破解數(shù)列探索性問題的關(guān)鍵是先分清探索的類型，然后采取對(duì)應(yīng)的策略處理.如條件探索性問題，往往采取分析法，從結(jié)論和部分條件入手，執(zhí)果導(dǎo)因，導(dǎo)出所需條件；結(jié)論探索性問題，則需要充分利用已知條件進(jìn)行猜想、透徹分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結(jié)論；存在探索性問題，則先假設(shè)存在，導(dǎo)出正確結(jié)論或?qū)С雒埽M(jìn)而得出結(jié)論；規(guī)律探索性問題，則需要研究簡(jiǎn)化形式但保持本質(zhì)的特殊情形，從條件出發(fā)，通過觀察分析、歸納類比來探路，最后總結(jié)得出需要的結(jié)論.

典例精講