數列求和

重點難點

本節內容，一方面要求理解并掌握各種數列求和的方法，另一方面要求通過分析數列的通項，能快速選擇適當的方法進行數列求和.

重點：掌握由數列通項公式求數列的前n項和的方法.

難點：掌握非等差、等比數列求和的幾種常見方法.

方法突破

1. 公式法

2. 錯位相減法

已知等差數列{an}和等比數列{bn}，求數列{an·bn}的前n項的和常用此法.設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q.

3. 裂項相消法

若an=f（n）-f（n-1），適用此法求{an}的前n項和，常見拆項公式有：

5. 分組求和法

若an=bn+cn，數列{bn}，{cn}是等差數列或等比數列，則適合用此法求數列{an}的前n項和.

6. 倒序相加法

典例精講

（2013年浙江高考）在公差為d的等差數列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數列.

（1）求d，an；

（2）若d<0，求a1+a2+a3+…+an.

思索 （1）求等差數列通項公式的一般方法是列出關于a1與d的二元方程組，題中a1已知，故只需建立關于d的目標方程；（2）等差數列的每一項取絕對值后不一定還是等差數列，故不能沿用等差數列的求和公式，ea76104daad03d59534cd2f3e33ab5da此時我們應想辦法去掉絕對值，觀察新數列的特點后再求和，此時需分類討論.

破解 （1）由題意得（2a2+2）2=5a1a3，所以4（a1+d+1）2=50（a1+2d），所以（11+d）2=25（5+d），化簡得d2-3d-4=0，解得d=4，an=4n+6，或d=-1，an=11-n.

（2013年山東高考）設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

（1）求數列{an}的通項公式；

思索 （1）建立關于a1與d的目標方程；（2）利用數列前n項和與通項的關系即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2可求出bn，進而求出cn. 又cn由等差數列與等比數列相乘構成，故求其前n項的和用錯位相減法.

破解 （1）an=2n-1（n∈N？鄢）.

（1）求a1的值；

（2）求數列{an}的通項公式；

思索 細細品味該題，設計上層層遞進，“簡約不簡單”. 該題有意識地從數列的遞推關系出發，引導考生計算a1，繼而求數列{an}的通項公式，最后落腳點就是第（3）小問. 因為a1=1，a2=5，所以當n=1時，an+1=3an+2n也成立.

因為an+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是以3為首項、3為公比的等比數列，所以an+2n=3n，an=3n-2n.

（3）（方法一：通項巧妙放縮，轉化為等比數列的求和問題）

（方法二：通項巧妙放縮，進而用裂項相消法求和）

變式練習

（1）求{an}的通項公式；

2. （2013年江西高考）正項數列{an}的前項和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.

（1）求數列{an}的通項公式an；

參考答案

1. （1）an=2n-1.

-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數列{an}的通項an=2n.