等差、等比數列及其前n項和

重點難點

這部分內容由等差（比）數列的定義、通項公式及其前n項和公式組成，主要考查運算能力，公式和性質的靈活運用能力以及遞推轉化能力. 在客觀題中，突出考查基本量（首項、公差或公比、通項公式、前n項和）的求解；在解答題中，常以等差（比）數列（或可以化歸為等差（比）數列的關系式）為背景，重點考查其證明、通項、求和以及與函數、方程、不等式等其他知識的交匯問題，難度一般為中等或中等偏下.

重點：理解并掌握等差（比）數列的定義，能判斷或證明等差（比）數列；熟記等差（比）數列的通項、求和及其變形公式和相關性質.

難點：等差（比）數列的定義的理解和判斷；等差（比）數列的通項、求和及其變形公式和相關性質的記憶與靈活運用.

方法突破

1. 等差（比）數列及其前n項和的基本解題思路

（1）方程法：將an與Sn統一表示為a1和d（或q）的方程（組），以求其基本量（五個基本量中，通常先求出a1和d（或q），然后再求其他的基本量）.

（2）函數法：利用函數的思想解決數列問題，如等差數列的通項、求和公式可分別表示成an=kn+b（一次函數），Sn=An2+Bn（不帶常數項的二次函數）（n∈N？鄢）等.

（3）性質法：運用等差（比）數列的相關性質解題，常可整體代換，回避單個求值. 較為常用的如：若a，b，c成等差，則2b=a+c；若a，b，c成等比，則b2=ac；若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（或aman=apaq）（n，m，p，q∈N？鄢），Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差（比）數列. 需要指出的是，等差、等比數列的性質具有對稱性，因此可用類比的思想理解和記憶. 等差數列和等比數列可以相互轉化，等比數列的性質可以用等差數列的性質來推導、理解和記憶.

2. 等差（比）數列及其前n項和的基本解題策略

（1）通項公式的拓展應用：若數列{an}為等差（比）數列，則an=am+（n-m）d（an=amqn-m）.

（4）求最值的方法有：①函數法（作圖觀察）；②分界法（如在等差數列中，若a1>0且d<0，則當n滿足an≥0且an+1≤0時，Sn最大；相反，若a1<0且d>0，則當n滿足an≤0且an+1≥0時，Sn最小）；③單調法（當n滿足an≥an-1且an≥an+1時，an最大；當n滿足an≤an-1且an≤an+1時，an最小）等.

典例精講

（1）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1+a5=3a3，a10=14，則S12=______.

（2）（2013年北京高考）若等比數列{an}滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=______；前n項和Sn=________.

思索 這是高考等差（比）數列中最基本的一類題型（求基本量），通常用方程法求解，但用等差（比）數列的性質進行轉化常常更為簡便. 因此，解題時首先要看能否利用性質，如若不能，再考慮普通方法.

（1）（2013年浙江金華十校聯考）已知數列{an}是公差為1的等差數列，Sn是其前n項和，若S8是數列{Sn}中的唯一最小項，則數列{an}的首項a1的取值范圍是____.

（2）（2013年新課標Ⅱ高考）等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為______.

思索 本題考查等差數列前n項和Sn的最值的處理方法. （1）由前面所述解題策略第四點中的分界法可求得，亦可用二次函數的方法來處理. （2）由等差數列基本量的關系可求得nSn的表達式，可利用導數的方法求解最值，這是一道比較新穎的數列的最值問題，充分體現了數列與函數的聯系和差別.

破解 （1）法一：由題意可知a8<0，a9>0，即a1+7<0，a1+8>0，解得-8

（1）求數列{an}的通項公式及Sn；

思索 （1）將等差數列中的項a1，a2，a4均用a1和d來表示，結合等比中項公式建立方程，解出a1和d，即可求出其通項. （2）在有關前n項和的問題中，有兩個新數列的前n項和的問題，分清數列的類型和基本量尤為關鍵，并且問題中穿插了一點放縮的技巧. 它是一個考查知識點全面，但難度不大的數列問題.

已知數列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）.

（1）證明數列{an}為等差數列，并求其通項公式；

思索 （1）證明數列為等差（比）數列是高考中的常見題型，通常由需要被證明數列的“暗示”，將關系式進行轉化，利用定義法或中項法證明. （2）題中涉及離散型數列的單調性，由單調性求最值.

破解 （1）令n=1，則1·a2=a1+1·2，即a2-a1=2.

由nan+1=Sn+n（n+1），？搖（n-1）an=Sn-1+（n-1）n可得nan+1-（n-1）an=an+2n，即有an+1-an=2（n≥2）.

變式練習

1. 若等差數列{an}的前6項和為23，前9項和為57，則數列{an}的前n項和Sn=_____.

2. 若f（1，1）=1， f（m，n）∈N？鄢（m，n∈N？鄢），對任意的m，n∈N？鄢都有f（m，n+1）=f（m，n）+2， f（m+1，1）=2f（m，1），則f（2013，2014）=________.

（1）求a2的值；

（2）求數列{an}的通項公式.

4. 已知正項數列{an}，{bn}滿足：對任意正整數n，都有an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列，且a1=10，a2=15.

（2）求數列{an}，{bn}的通項公式；

參考答案

2. 22012+4026.