學會數學地思考

【教學案例】

在一次數學優質課評比中，筆者有幸聽了一節課，教學內容是人教版教材六年級下冊第93頁“數學思考”第7題，是一道條件分析的推理題。例題：六年級有三個班，每班有2個班長，開班長會時，每次每班只要一個班長參加，第一次到會的有A、B、C，第二次到會的有B、D、E，第三次到會的有A、E、F，請問哪兩位班長是同班的？

1.首先，教師讓學生審題，題中值得關注的條件有哪些？學生回答：每次每班只要一個班長參加。

（簡評：審題時，解讀條件不到位，不能簡單地只關注一個條件，而應讓學生看懂整個問題，明白是講了一件六年級召開班長會議時，各班班長出席會議的事情，了解到六年級三個班的班長參加了三次會議，每次每班派1個班長出席，并且分別列出了三次出席會議的班長）

2.接著就有學生分析，從第一次到會的有A、B、C， 第三次到會的有A、E、F，可以知道A不可能與B、C、E、F同班，只能與D同班，再根據第二次到會的有B、D、E，可以知道B不可能與D、E同班，只能與F同班，剩下的C與E同班，學生的回答很精彩，可能與教師的安排預設不符合，教師對學生的回答沒作怎么評議，就轉入下一環節的教學。

（簡評：學生的分析很到位，結果也正確，教師要進行提升、引導，先把學生解決問題的方法進行概括、提煉，即運用排除法，把不可能的排除掉，剩下的就是可能的、正確的。然后引導其他學生，這一同學從哪一個班長入手分析？為什么選擇了A班長？還可以從哪位班長入手分析？一起試一試。這樣就把個別學生的方法推廣到全體學生，學生也更容易理解與接受，為共同發展提供了可能）

3.教師轉入下一個環節，提問：這道題條件比較復雜，怎樣使它簡單些、清晰些？有學生回答：可以用表格分析，教師馬上在黑板上出示這樣一份表格：

教師接著指出，可以運用數學符號來表示每個班長出席會議的情況，用1表示出席，用0表示沒出席，當然也可以用符號√、×來表示，師生共同完成表格中的出缺席情況。

（簡評：學生既然提出了用表格的形式，是否先讓學生自主探索，在學生交流的基礎上，再提供教師準備的這份表格，說不定在學生自主嘗試時，也會出現同樣的表格。條件分析的表格是否只有這樣形式的？還可能有其他形式嗎？）

4.緊接著教師引導學生運用表格進行分析推理，分成兩類，從反面分析，結合樹形圖，從A班長入手排除不可能，剩下的就與A同班（與一開始一個學生的回答相同）；從正面分析，根據A與D三次出席會議的情況，得出他們是同班的。

（簡評：人教版教材中提供的表格，為什么用1、0來表示，而不采用符號√、×來表示，怎樣利用它們進行分析？又怎樣運用表格來分析呢？例如表中B前兩次都是1，而F前兩次都是0，可以確定他們是同班的，同樣A第一次、第三次是1，而D只是第二次1，可以確定它們也是同班的，同理C與E是同班的）

5.在練習環節，以對話的形式，四個人有教師、工人、軍人三種不同的職業，王阿姨是教師，丁阿姨不是工人，只有劉叔叔、李叔叔的職業相同，問四個人分別是什么職業？

（簡評：練習題的選擇與例題是否相匹配？學生在課堂中學到的方法，例如運用課堂中提供的表格分析、數學符號化思想等，怎樣在練習中體現與運用？在選擇練習題時，選擇骰子中各數字的推理這類的題，比較合適）

【教學總評】

“數學思考”是新課程中一個嶄新的內容，教師應對此作怎樣的思考？它的目標定位，它與其他教學內容在教學時有何區分？筆者認為教師可以從以下幾方面著手，從而實現不同的學生都得到發展的目的。

一、審題，正確解讀信息，展開合理聯想

在本節課的教學中，要讓學生對條件進行正確解讀，明白六年級有三個班，每班兩個班長，分別是A、B、C、D、E、F，根據第一次出席會議的情況，可以聯想到A、B、C分別是三個班的班長，D、E、F也分別是三個班的班長，三個班級的班長搭配是A、B、C中的一個分別搭配D、E、F中的一個；每次每班只能出席一個班長，其中一個班長出席時，與他同班的另一個班長就不能出席，據此可以聯想到每次出席會議的三個班長不可能是同一個班的；還可以聯想到，三次會議，每班出席的人次應都是3次。對條件正確的解讀，有助于學生加深對問題的理解，找到解題的方向，對條件展開合理的聯想，有助于挖掘出隱含的條件，找到解題的途徑。

二、思考，選擇合適入口，積累活動經驗

教師要讓學生在對條件正確解讀的基礎上，對題中條件進行適當的整理，使其更加簡潔清楚。并引導學生用符號、表格等自己喜歡的方式，把題中的條件表達出來，實現條件的數學化、符號化以及學生表達的個性化。

例如，可以這樣表達：

在學生對條件進行個性化表達后，各自選擇不同的突破口，獨自嘗試探索，積累數學活動的經驗，為同學間的交流互動打下基礎。

三、解題，多種方法交流，實現共同發展

不同的學生由于觀察問題的角度不同、選擇解題入口的區別及數學活動經驗的差異，會產生不同的解決問題的方法，為學生間的互動提供了基礎。

1.有的學生運用第一種條件羅列后分析，發現班長A、B、E分別出現了2次，而其他三個班長只出現1次，先分析A、B、E的情況比較方便，采用樹形圖分析的方法，從A入手分析（見下圖），得出A與D是同班的，進一步分析可以得出B與F、C與E是同班的。除了從A入手分析，還可以從同樣出現2次的B或者E入手分析，引導其他學生嘗試著分析推理。

2.運用表格二進行分析，豎著看，A只能與D、E、F中的一個是同班的；橫著看，D只能與A、B、C中的一個是同班的，也就是說，在表格的空白處，用符號×與√表示，每一橫行與每一豎列只能有一個√，根據條件進行分析如下：

先根據第二次、第三次參加會議的情況，確定4個×，然后很容易地確定2個√，最后確定第三列的情況，從而解決問題。

3.運用表格一進行分析，用1表示出席，用0表示沒出席，并統計出每個班的班長出席會議的合計數，如下圖：

（1）在表中發現B連續參加了第一次、第二次的會議，而F這兩次會議都沒出席，第三次B沒出席，F出席了，可以得出這兩個是同班的，同理分析C與E、A與D也是同班的。

（2）運用統計的結果，結合A、B、C中的一個分別搭配D、E、F中的一個，每個班級班長出席會議的總人次是3次，所以發現解題的突破口：D、E、F中只有E是2，A、B、C中只有C是1，2+1=3，所以C與E是同班的，接著再分析得出A與D、B與F分別是同班的。

（3）運用玩俄羅斯方塊的經驗，以一豎列為單位，左右移動，使得每一格都是1與0，合計2+1=3，這時這兩個班長就是同班的，如A，1、0、1、2，D，0、1、0、1，合起來剛好符合要求，他們是同班的。

學生間不同方法的交流，互相啟發，運用他人的方法，嘗試著解決問題，互相得到教育。在傾聽中理解解題思路，在嘗試中掌握解題方法，在比較中發現最適合自己的方法，從而提高解決問題的能力。

總之，對于“數學思考”這一內容類型的教學，教師首先要思考，教材這樣安排需要實現怎樣的目標？教師對這一具體問題有怎樣的思考？估計你的學生又會怎樣思考。只有在這樣思考的基礎上，才能設計教學；其次，教師要放手讓學生進行個性化思考，大膽嘗試，積累數學活動經驗，并組織學生交流互動，在學生相互的思維碰撞中，互受啟發，相互指導，共同發展；再次，引導學生及時反思，引導學生學會用數學的眼光觀察世界，學會數學地思考，總結提煉數學思考的方法與途徑 ，滲透數學思想方法，提高解決問題的能力，提升數學素養。

（浙江省余姚市東風小學 315400）